Kezdőlap


Feladat:	659. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szigeti Ferenc , Tekulics Péter
Füzet:	1961/október, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Numerikus és grafikus módszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/november: 659. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kérdésre választ adhatunk úgy, hogy a bal oldal két tagját párhuzamosan kiszámítjuk több és több tizedesre, amíg különböző tizedes jegyeket nem kapunk. Az egyes tagok négyzetgyökvonással és szorzással keletkeznek. A négyzetgyökvonás eredményét tizedestörtekben csak közelítőleg tudjuk megadni, és a szorzás a közelítés hibáját növelné, ezért célszerű először a 495 és 388 tényezőket bevinni a gyökjel alá. Így:

\begin{matrix} 495 \sqrt[]{2} = \sqrt[]{490 050} = 700, 035 713 374 ... \\ 388 \sqrt[]{3} = \sqrt[]{451 632} = 672, 035 713 336 ... \end{matrix}

A különbség

28, 000 000 03 ...

, tehát a 28 egész után legfeljebb hét 0-t írhatunk.

Szigeti Ferenc (Kunszentmárton, József A. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Biztosra vettük, hogy a két gyökvonásban előbb-utóbb kapunk egymástól különböző jegyeket. Ez a sejtés helyes, előre láthatjuk, hogy kifejezésünk értéke nem pontosan 28. Ugyanis négyzete

\begin{matrix} 2 \cdot 495^{2} + 3 \cdot 388^{2} - 2 \cdot 495 \cdot 388 \sqrt[]{6}, \end{matrix}

irracionális szám, nem lehet egyenlő

28^{2}

-nel, ami racionális szám.

II. megoldás. A bal oldalnak 28-tól való

x

eltérését négyzetgyökvonás nélkül, becsléssel határozzuk meg. Az

\begin{matrix} x = 495 \sqrt[]{2} - (388 \sqrt[]{3} + 28) \end{matrix}

kifejezés számlálóját gyöktelenítjük (alája 1-es nevezőt írva) két lépésben:

\begin{matrix} x = \frac{495^{2} \cdot 2 - {(388 \sqrt[]{3} + 28)}^{2}}{495 \sqrt[]{2} + (388 \sqrt[]{3} + 28)} = \frac{2 (18 817 - 10 864 \sqrt[]{3})}{(495 \sqrt[]{2} + (388 \sqrt[]{3} + 28)} = \\ = \frac{2 (18 817^{2} - 3 \cdot 10 864^{2})}{[495 \sqrt[]{2} + (388 \sqrt[]{3} + 28)] (18 817 + 10 864 \sqrt[]{3})} . \end{matrix}

Itt a számláló értéke 2. A nevezőben ,,nagy'' összegek állnak. Mivel

x

-re megelégszünk 2 értékes jeggyel, azért a nevező tényezőiben elég 3‐3 értékes jegyet megállapítanunk. Mindig alsó közelítő értéket véve

x

-re felső közelítő értéket kapunk.

\sqrt[]{2} \approx 1, 41

és

\sqrt[]{3} \approx 1, 73

-dal az első zárójel értéke nagyobb

697 + 671 + 28 = 1396

-nál, a másodiké nagyobb

18 817 + 18 794 = 37 611

-nél, így a nevező nagyobb

1390 \cdot 37 600

-nál, tehát több mint

522 \cdot 10^{6}

, végül

x

kisebb

39 / 10^{9}

-nél. ‐ Ha pedig a négyzetgyökökre felső közelítő értékeket veszünk, az

x

-re alsó közelítő értéket kapunk:

\sqrt[]{2} \approx 1, 42

és

\sqrt[]{3} \approx 1, 74

-dal a nevező kisebb

1410 \cdot 37 800

-nál, még inkább

533 \cdot 10^{6}

-nál, tehát

x

nagyobb

37 / 10^{9}

-nél. Így

x

első értékes jegye a 8-ik helyen áll és kisebb 5-nél, tehát hét 0-t írhatunk.

Tekulics Péter (Szeged, Radnóti M. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Az utóbbi megoldás fejlettebb, mert kevesebb gépies számolást végez, az előbbiben azt sem látjuk előre, meddig kell számolnunk. Azt mégis mutatja az I. megoldás, hogy a kérdés egészen egyszerű úton is megválaszolható.