Kezdőlap


Feladat:	657. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gáti Imre , Pázmándi László
Füzet:	1961/szeptember, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/november: 657. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Nyilvánvaló, hogy az $N^{2}$ négyzetszám $N$ alapja 3-jegyű, tehát $N = A \cdot 10^{2} + B \cdot 10 + C$ alakban írható, ahol $A$ , $B$ , $C$ az $N$ számjegyei. Így négyzete

\begin{matrix} N^{2} = A^{2} \cdot 10^{4} + 2 A B \cdot 10^{3} + (2 A C + B^{2}) 10^{2} + 2 B C \cdot 10 + C^{2} . \end{matrix}

N^{2}

első 2-es jegye miatt

A^{2} < 3

, tehát

A = 1

. A negyedik, 5-ös jegy helyi értéke 10, erre csak a

2 B C \cdot 10

és a

C^{2}

tagok vannak befolyással. Közülük az első 20-szal osztható, ezért

C^{2}

tízesének páratlannak kell lennie. A számjegyek négyzetei között csak

C = 4

és

C = 6

ilyen. Mindkettőben az egyes jegy 6, tehát

N^{2}

utolsó jegye 6.

C = 4

esetén az utolsó két tag értéke

80 B + 16

és ez

100 k + 56

alakú, ahol

k

egész. Innen

80 B = 100 k + 40

, egyszerűsítve

8 B = 10 k + 4

, és mivel a 8-as szám szorzótábláján csak

3 \cdot 8

és

8 \cdot 8

végződik 4-re, azért

B = 3

, vagy 8. Így

N = 134

, vagy 184. Ezek négyzetében azonban az első jegy 1, ill. 3, tehát nem felelnek meg.

C = 6

esetén hasonlóan

120 B + 36 = 100 k + 56

-ból

12 B = 10 k + 2

, tehát

B = 1

, vagy 6, ezért

N = 116

vagy 166. Az első nem felel meg, mert kisebb a fenti 134-nél. 166 megfelel:

166^{2} = 27 556

, ez a keresett szám.

Gáti Imre (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. II. o. t.)

Megjegyzés. Majdnem minden megoldás efféle úton jutott el az eredményhez. Az alábbi megoldás néhány eleme csak Pázmándi László (Budapest, József A. g. II. o. t.) megoldásában olvasható.

II. megoldás. Az adott jegyek alapján a keresett

N^{2}

négyzetszámra

20 050 \leq N^{2} < 30 000

, tehát pozitív négyzetgyökére

142 \leq N \leq 173

.
A negyedik jegy helyi értéke 10, ez tehát beletartozik

N^{2}

,,kétjegyű végződésébe'', vagyis az utolsó két jegyével írt számba, amely az alábbiak szerint egyszerű kapcsolatban áll az

N

alap kétjegyű végződésével. A továbbiakban az

N = 5 k

alakú számokat figyelmen kívül hagyjuk, mert ezekkel

N^{2}

végződése 00, vagy 25, tehát tízes jegye nem 5-ös.
Az

a

és

b

egész számok négyzetének kétjegyű végződése akkor és csak akkor egyenlő, ha az

a^{2} - b^{2}

különbség 00-ra végződik, tehát

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) = 100 k = 2^{2} \cdot 5^{2} k

. Így az

a - b

és

a + b

tényezők mindegyike páros, mert két egész szám összege és különbsége egyenlő párosságú ‐ azaz vagy mindkettő páros, vagy mindkettő páratlan ‐ most pedig egyiküknek párosnak kell lennie. A szorzat két 5-ös tényezője viszont csak

a - b

és

a + b

egyikéből adódhat, mert az ellenkező feltevés, hogy ti. mindkét tényező 5-tel is osztható,

a - b = 10 m

a + b = 10 n

-re és folytatólag

a = 5 (m + n)

-re, a kizárt esetre vezet. Eszerint vagy

a - b

, vagy

a + b

osztható 50-nel. Mármost

a - b = 50 p

-ből

a = b + 50 p

, vagyis a kétjegyű négyzetvégződések az egész számokon 50-esével előrehaladva ismétlődnek,

a + b = 50 r

-ből pedig

(a + b) / 2 = 25 r

, vagyis az olyan számok kétjegyű négyzetvégződései is egyeznek, melyek 25 valamely többszörösére ,,tükrösek'', vagyis ha

a = 25 r + s

, akkor

b = 25 r - s

.
Eszerint pl. az 1-től 24-ig terjedő, 5-tel nem osztható számok négyzetéből minden a 00 és 25-től különböző kétjegyű végződést megkaphatunk. Köztük csak egy olyan van, melynek tízes jegye 5, ez

16^{2}

-ből az ,,56'' négyzetvégződés. Ezt a négyzetvégződést adja még minden

16 + 50 = 66

-ra,

50 - 16 = 34

-re, és

100 - 16 = 84

-re végződő alap.
Eszerint

N

fenti korlátai, 142 és 173 között csak

N = 166

felelhet meg, és mivel további adatunk (korlátozásunk) nincs rá, meg is kell felelnie.