Feladat: 655. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ámon Magdolna ,  Corrádi G. ,  Dudinszky Ilona ,  Éberhart Edit ,  Fazekas P. ,  Földes Antóni ,  Gáspár Hedvig ,  Gazsó J. ,  Gondol Ibolya ,  Gyárfás A. ,  Gönczy J. ,  Görbe T. ,  Hanák P. ,  Harkányi G. ,  Kohut J. ,  Komor T. ,  Kultsár L. ,  Kultsár Sz. ,  Lehel J. ,  Lukovics E. ,  Ormai L. ,  Raisz M. ,  Szabó László ,  Szöllősy G. ,  Tasnády Mária 
Füzet: 1961/szeptember, 21 - 22. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/október: 655. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Ha a szám minden számjegye 7, akkor jegyeinek száma tetszés szerinti lehet. Tegyük most fel, hogy minden jegy egy 7-től különböző j érték. Ekkor a szám egy csupa 1-essel leírt szám j-szerese és mivel j nem többszöröse 7-nek, azért a csupa 1-essel leírt szám osztható 7-tel. E szám jegyeinek számát úgy állapíthatjuk meg, hogy az ismeretlen hosszúságú 111 ... 1 számot osztjuk 7-tel, addig véve le az 1-eseket, míg 0 maradékra jutunk. Ez először a 6-ik 1-es levétele után következik be, de nyilvánvaló, hogy 12, 18, 24, ... jegyű osztandó esetén hasonlóan fennáll az oszthatóság, pl. 444444444444=4⋅7⋅15873015873. Eszerint a kérdéses szám számjegyeinek száma J=6k, ahol k pozitív egész szám. (Minden további betűvel is egy‐egy pozitív egész számot jelölünk.)

111...1:7=1587341616151210

b), c) 43 és 41 esetén nem fordulhat elő, hogy a számjegy osztható velük, így mindegyik esetben az előzőhöz hasonló osztási eljárást alkalmazva azt kapjuk, hogy a 21-ik, ill. az 5-ik 1-es levétele után adódik először 0 maradék:
111111111111111111111=43⋅2583979328165374677,11111=41⋅271,
tehát a b) esetben J=21m, a c)-ben j=5n a számjegyek száma.
d) A 301 osztó esetében felesleges a hasonló próba, ha észrevesszük, hogy 301=7⋅43. Ha a szám csupa 7-essel van írva, akkor J=21m esetén fennáll az oszthatóság. Ha a jegyek nem 7-esek, akkor számuknak a 7-tel való oszthatóság végett 6k, a 43-mal való oszthatóság végett pedig 21 m alakúnak kell lennie, vagyis 6 és 21 közös többszörösének. Mivel 6 és 21 legkisebb közös többszöröse 42, és így minden közös többszörösük 42r alakú, azért valamennyi jjj...j alakú szám közül a 42r jegyűek oszthatók 301-gyel.
e) Hasonlóan kapjuk, hogy a 3-mal osztható, jjj...j alakú számoknak vagy minden jegyük j=3, 6, 9, vagy jegyeik száma 3s, mert 111=3⋅37.
f) Mivel 21=3⋅7, azért a csupa egyenlő jeggyel írt, 21-gyel osztható számoknak az a) és e) alatti feltételpár legalább egyik‐egyik tagját ki kell elégíteniük. A feltételek nem függetlenek egymástól, ti. ha j=7, akkor j=3, 6, vagy 9 ki van zárva, és megfordítva is. Másrészt, ha a)-ból J=6k, evvel e)-hez J=3s is teljesül és j értékének közelebbi megjelölése feleslegessé válik. Így a feltételek kombinációi közül csak a következő kettő különböző:
j=7,J=3s,vagyj≠7,J=6k.

Szabó László (Budapest, József A. g. II. o. t.)
 

Megjegyzés. A dolgozatok kerülő utakon állapították meg a J értékeket. Pl. az a) esetre a J=6, ill. 6k értéket abból következtették ki, hogy az 1/7 tört a végtelen tizedes tört alakból közönségessé visszaalakítva 142857/999999-nek adódik, tehát 999999=9⋅111111=7⋅142857, 111111=7⋅15873, vagyis a 6 egyenlő jegyű számok megfelelnek. Ebből nem következik, hogy kevesebb jegyű számról nem lehet szó. Volt, aki érezte ezt és óvatosan így írt: ,,6 egyenlő jegyű szám biztos osztható 7-tel.'' A feladat kérdésére: ,,hány jegye lehet a számnak...'' ez elegendő is.
Mások ,,visszafelé való szorzással'' építették ki a számokat. Pl. a csupa 1-essel írt, 7-tel osztható szám utolsó 1-ese miatta 7-edrészének, q-nak, egyes jegye 3, mert 7 többszörösei közül csak 3⋅7=21 végződik 1-esre. Az itteni 2 tízeshez, ,,hogy 1 tízes legyen'', 9 tízest kell adni, 9-re 7⋅7 végződik, tehát q=...73. Most 7⋅73=511, az 5 százashoz 6 százast kell adni, 6-ra 7⋅8 végződik, q=...873, és így tovább. Ez a ,,fordított'' eljárás a fent adott osztáshoz hasonlóan vezet célra, ha nehézkesebben is; lehet viszont olyan kérdés, ahol csak ez vezet célra.