Kezdőlap


Feladat:	654. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pázmándi László
Füzet:	1961/május, 203 - 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/október: 654. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Tekintsük a $3 / 5$ törtet és próbálkozzunk egyik összeadandóként $2$ reciprokával. ( $1$ reciproka ugyanis még nagyobb $3 / 5$ -nél.) Ha a $3 / 5 - 1 / 2$ különbség valamely természetes szám reciproka, akkor máris megoldást kaptunk. Valóban

\begin{matrix} \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{1}{10}, tehát \frac{3}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} . \end{matrix}

3

reciprokával nem kapunk felbontást, mert

3 / 5 - 1 / 3 = 4 / 15

reciproka nem természetes szám.

4

és nagyobb egész szám reciprokával felesleges tovább próbálkoznunk, mert

1 / 4

kisebb

3 / 5

felénél,

3 / 10

-nél, tehát a másik összeadandónak nagyobbnak kellene lennie

1 / 4

-nél, a természetes számnak pedig kisebbnek

4

-nél. Így több felbontás nincs.
Hasonlóan

\begin{matrix} \frac{3}{10} = \frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} . \end{matrix}

Itt az első felbontás tagjainak reciprokai:

4

és

20

kétszer akkorák, mint

3 / 5

esetében a

2

és

10

számok. Ebből sejtjük, hogy minden

3 / 5 n

alakú tört, vagyis a

3 / 5

-nél

n

-szer kisebb szám ‐ ahol

n

tetszés szerinti természetes szám ‐ felírható a

2

és

10

-nél

n

-szer nagyobb

2 n

és

10 n

természetes számok reciprokának összege gyanánt. Továbbá

3 / 10

második felbontásának mintájára, ha

n

páros,

n = 2 k

(

k

természetes szám) vagyis

5 n = 10 k

, akkor

3 / 5 n = 3 / 10 k

, az

5 k

és

10 k

számok reciproka összege gyanánt is felírható. Valóban

\begin{matrix} \frac{1}{2 n} + \frac{1}{10 n} = \frac{6}{10 n} = \frac{3}{5 n} és \frac{1}{5 k} + \frac{1}{10 k} = \frac{3}{10 k} = \frac{3}{5 \cdot 2 k} . \end{matrix}

Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Tovább folytatva hasonlóan kapjuk:

3 / 15 = 1 / 5 = 1 / 6 + 1 / 30 = 1 / 10 +

+ 1 / 10

, a második felbontás két tagja egyenlő. Általában

3 / 5 n

akkor egyenlő

x

reciprokának

2

-szeresével, vagyis

\begin{matrix} \frac{3}{5 n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x} ha x = \frac{10 n}{3}, \end{matrix}

ez pedig akkor, és csak akkor egész, ha

n

többszöröse

3

-nak.

n = 3 k

esetében még egy összegfelbontást adhatunk

3 / 5 n

-re. Ilyenkor a

3 / 15, 3 / 30, 3 / 45, ...

számok az

1 / 5, 1 / 10, 1 / 15, ...

alakban írhatók, és ismeretes, hogy az

\begin{matrix} \frac{1}{k + 1} = \frac{1}{k} - \frac{k}{k (k + 1)}, \frac{1}{k} = \frac{1}{k + 1} + \frac{k}{k (k + 1)} \end{matrix}

azonosság alapján a

2, 3, 4, ...

számok reciproka felírható két nagyobb; különböző egész szám reciprokának összege gyanánt.
II.

3 / 5

nem írható a kívánt alakú különbségként, mert a kisebbítendő csak az

5 / 3

-nál kisebb

1

reciproka lehetne, márpedig

1 / 1 - 3 / 5 = 2 / 5

, és ennek reciproka nem egész. Megmutatjuk viszont, hogy minden további adott szám előállítható a kívánt alakban. Erre az alábbiak szerint jöhetünk rá.

3 / 10

esetében a kisebbítendő reciprokának kisebbnek kell lennie

10 / 3

-nál, így csak

1

2

3

jöhet szóba. Mármost

\begin{matrix} \frac{1}{1} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}, \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}, \frac{1}{3} - \frac{3}{10} = \frac{1}{30}, \\ tehát \frac{3}{10} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{30} . \end{matrix}

Hasonlóan

3 / 15 = 1 / 5

esetében

\begin{matrix} 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}, \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}, \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}, \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20}, \\ tehát \frac{3}{15} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20}; \end{matrix}

3 / 20

esetében

\begin{matrix} 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}, \frac{1}{2} - \frac{3}{20} = \frac{14}{40} = \frac{7}{20}, \frac{1}{3} - \frac{3}{20} = \frac{11}{60}, \\ \frac{1}{4} - \frac{3}{20} = \frac{8}{80} = \frac{1}{10}, \frac{1}{5} - \frac{3}{20} = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}, \frac{1}{6} - \frac{3}{20} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}, \\ tehát \frac{3}{20} = \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{1}{5} - \frac{1}{20} = \frac{1}{6} - \frac{1}{60} . \end{matrix}

Észrevesszük, hogy az

\begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{3}{10}, \frac{1}{x} - \frac{3}{15} = \frac{1}{x} - \frac{1}{5}, \frac{1}{x} - \frac{3}{20} \end{matrix}

különbségben, ha közös nevezőnek mindig a két nevező szorzatát vesszük, és

x

helyére sorra az

1, 2, 3, ...

számokat helyettesítjük addig, amíg a különbség még pozitív, akkor (az esetleges egyszerűsítés előtti) számlálók szabályosan kisebbednek:

7, 4, 1

, ill.

4, 3, 2, 1

, ill.

17, 14, 11, 8, 5, 2

. Az első két sorozat végén fellépett az

1

-es számláló, a harmadikban pedig egyszerűsíthettünk

8, 5

, ill.

2

-vel, ezen múlt a felbontás lehetősége.
Általában az

\begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{3}{5 n} = \frac{5 n - 3 x}{5 n x} \end{matrix}

(1)

alak számlálójának csökkenése

x

növekedésével

3

egységnyi lépésekben történik, így minden esetben eljutunk vagy a

3

-as, vagy a

2

-es, vagy az

1

-es számlálóra.
Vegyük sorra e három lehetőséget.

5 n - 3 x = 3

akkor adódik, ha van olyan

x

egész szám, amelyre

5 n = 3 x + 3 = 3 (x + 1)

, vagyis ha

n

osztható

3

-mal,

n = 3 k

alakú, ahol

k = 1, 2, 3, ...

. Ekkor (1) jobb oldala

3

-mal egyszerűsíthető:

\begin{matrix} \frac{3}{5 n x} = \frac{1}{5 k x}, másrészt x = \frac{5 n - 3}{3} = 5 k - 1, és így \\ \frac{3}{5 n} = \frac{1}{5 k} = \frac{1}{5 k - 1} - \frac{1}{5 k (5 k - 1)} . & (2) \end{matrix}

5 n - 3 x = 1

adódik, ha van olyan

x

egész szám, amelyre

\begin{matrix} x = \frac{5 n - 1}{3} = \frac{6 n - (n + 1)}{3} = 2 n - \frac{n + 1}{3}, \end{matrix}

tehát ha

n + 1

osztható

3

-mal:

n + 1 = 3 k

, vagyis

n = 3 k - 1

, és ekkor

x = 2 n - k = 5 k - 2

. Ekkor (1)-ből egyszerűsítés nélkül:

\begin{matrix} \frac{3}{5 n} = \frac{3}{5 (3 k - 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{5 n x} = \frac{1}{5 k - 2} - \frac{1}{5 (3 k - 1) (5 k - 2)} \end{matrix}

(3)

Végül

5 n - 3 x = 2

adódik, ha

\begin{matrix} x = \frac{5 n - 2}{3} = n + \frac{2 n - 2}{3} = n + 2 \cdot \frac{n - 1}{3}, \end{matrix}

tehát ha

n - 1

osztható

3

-mal,

n - 1 = 3 k

, vagyis

n = 3 k + 1

, és ekkor

x = n + 2 k = 5 k + 1

. Ekkor (1) jobb oldala

\begin{matrix} \frac{2}{5 n x} = \frac{2}{5 (3 k + 1) (5 k + 1)} . \end{matrix}

(4)

Ez páratlan

k

esetén egyszerűsíthető

2

-vel, mert ilyenkor a nevező zárójeles tényezői párosak, ilyen volt

3 / 20

esete, mert ott

5 n = 20

n = 4 = 3 \cdot 1 + 1

. Páros

k

esetén (4) nem egyszerűsíthető. Ekkor viszont a csökkenő számlálók sorozatának utolsó előtti tagja

5

, ez a nevezőnek is tényezője, tehát egyszerűsítve

1

-es számlálót kapunk.

n = 3 k + 1

-gyel és

5 n - 3 x = 5

-tel

\begin{matrix} x = \frac{5 n - 5}{3} = \frac{5 (n - 1)}{3} = 5 k, és (1) jobb oldala \frac{5}{5 n x} = \frac{1}{n x} = \frac{1}{5 k (3 k + 1)} . \end{matrix}

Ezek szerint a

3 k + 1

alakú

n

számok esetére a

\begin{matrix} \frac{3}{5 n} = \frac{3}{5 (3 k + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{n x} = \frac{1}{5 k} - \frac{1}{5 k (3 k + 1)} \end{matrix}

(5)

felbontás mindig lehetséges, továbbá páratlan

k

, vagyis

k = 2 j + 1

, és

n = 3 k + 1 = 6 j + 4 = 2 (3 j + 2)

esetére

x = 5 k + 1 = 10 j + 6 = 2 (5 j + 3)

-mal és (4)-ből

2 / 5 n x = 1 / [5 (3 j + 2) (10 j + 6)]

-tal a következő felbontás is érvényes:

\begin{matrix} \frac{3}{5 n} = \frac{3}{10 (3 j + 2)} = \frac{1}{2 (5 j + 3)} - \frac{1}{10 (3 j + 2) (5 j + 3)} . \end{matrix}

(

5'

)

Mivel minden

n

egész szám vagy a

3 k

, vagy a

3 k - 1

, vagy a

3 k + 1

alakban írható, azért

3 / 10

-től kezdve (2), (3), ill. (5) szerint valóban valamennyi adott szám írható két természetes szám reciprokának különbségeként. Az (5) felbontás azért nem érvényes a

3 / 5

törtre, azaz

n = 1

-re, mert akkor

k = 0

, és a jobb oldalnak nincs értelme.

Pázmándi László (Budapest, József A. g. II. o. t.)