Kezdőlap


Feladat:	653. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Corradi Gábor , Tapody György
Füzet:	1961/május, 202 - 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/október: 653. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Alakítsuk az első törtet a következőképpen:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{33 333 333 331}{33 333 333 334} = \frac{33 333 333 334 - 3}{33 333 333 334} = \\ = 1 - \frac{3}{33 333 333 333 + 1} = 1 - \frac{1}{11 111 111 111 + \frac{1}{3}} \end{matrix}

Hasonlóan

\begin{matrix} t_{2} = \frac{22 222 222 221}{22 222 222 223} = 1 - \frac{1}{11 111 111 111 + \frac{1}{2}} . \end{matrix}

Az így előállt két különbség csak a kivonandó nevezőjében tér el. A

t_{2}

-ben fellépő nevező nagyobb a

t_{1}

-beli nevezőnél, ezért a

t_{2}

-beli kivonandó kisebb a

t_{1}

-beli kivonandónál, tehát maga

t_{2}

nagyobb

t_{1}

-nél. A második tört a nagyobb.

II. megoldás: A törteket

2

-vel, ill.

3

-mal bővítve

\begin{matrix} \frac{66 666 666 662}{66 666 666 668} és \frac{66 666 666 663}{66 666 666 669} \end{matrix}

összehasonlításáról van szó. A második tört úgy áll elő az elsőből, hogy annak számlálóját és nevezőjét

1

-gyel növeljük. Ezzel a változtatással a pozitív számlálóval és nevezővel írt pozitív valódi törtekből nagyobb valódi tört, a pozitív áltörtekből pedig kisebb áltört áll elő. Ha ugyanis

0 < a < b

és

c > d > 0

, akkor

\begin{matrix} \frac{a + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} és \frac{c + 1}{d + 1} < \frac{c}{d}, \end{matrix}

mert a két oldal különbsége mindkétszer pozitív:

\begin{matrix} \frac{a + 1}{b + 1} - \frac{a}{b} = \frac{b - a}{b (b + 1)} > 0 és \frac{c}{d} - \frac{c + 1}{d + 1} = \frac{c - d}{d (d + 1)} > 0. \end{matrix}

Feladatunkban valódi törtekről van szó, tehát a második tört nagyobb.

Corradi Gábor (Győr, Czuczor G. g. I. o. t.)

Megjegyzés. A

c / d

áltört megváltozásának iránya abból is megállapítható, hogy áltört reciprok értéke valódi tört, ‐ ha az

1

számot nem tekintjük áltörtnek.

III. megoldás: Törtjeink egyszerűen írhatók fel, ha a

11 111 111 111

számot

c

-vel jelöljük:

\begin{matrix} \frac{3 c - 2}{3 c + 1} és \frac{2 c - 1}{2 c + 1} . \end{matrix}

Közös nevezőre hozás után a számlálók:

\begin{matrix} 6 c^{2} - c - 2 és 6 c^{2} - c - 1; \end{matrix}

az utóbbi nagyobb, tehát a második tört nagyobb.

Tapody György (Budapest, Bem J. g. II. o. .t.)