Kezdőlap


Feladat:	650. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Berecz Ágota
Füzet:	1961/április, 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/október: 650. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $k = a + 2 b$ , azért az állítás ‐ mindjárt 4-gyel szorozva ‐ így alakul

\begin{matrix} 2 a + 4 b < 4 a + 4 b < 3 a + 6 b . \end{matrix}

(1)

E kettős egyenlőtlenség első fele valóságos háromszögben nyilván fennáll. A 2-ik és 3-ik kifejezésből

3 a + 4 b

-t kivonva azt kell belátnunk, hogy

\begin{matrix} a < 2 b . \end{matrix}

(2)

Ez pedig a háromszög-egyenlőtlenség, mert

2 b = b + b

, a szárak összege nagyobb az alapnál.
A háromszög kétféleképpen fajulhat el kétszeresen számító egyenesszakasszá:
I. ha

a = 0

, vagyis (állandó szárak mellett) az alapot egyre rövidebbre véve, ék alakú háromszögek után a két szárat összezárva, ilyenkor ‐ mint (1)-ből látjuk ─ az első

<

jel helyére

=

jel lép, a második

<

jel viszont (2) szerint érvényes marad;
II. ha

a = 2 b

, vagyis az alapot egyre hosszabbra véve, a két szárat az alapegyenesre mintegy lelapítva; ilyenkor az első

<

jel érvényes marad, és a másodiknak a helyére lép

=

jel.

Berecz Ágota (Makó, József A. g. I. o. t.)

Megjegyzés. Ezek szerint mondhatjuk, hogy ha az

A

B

C

pontokra

A B = A C

, akkor

\begin{matrix} \frac{1}{2} (A B + B C + C A) \leq B C + A B \leq \frac{3}{4} (A B + B C + C A) . \end{matrix}

Ez az állítás valóságos és elfajult háromszögekre egyaránt érvényes. A

\leq

jel‐pár ugyanis azt jelenti, hogy a bal oldalon álló szakasz (ill. szám) vagy kisebb a jobb oldalinál, vagy egyenlő vele; ha pedig e két állítás egyike teljesül, akkor az együttes állítás (,,vagy‐vagy'') helyes.