Kezdőlap


Feladat:	649. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bor Edit , Harkányi Gábor , Rácz László
Füzet:	1961/április, 170 - 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Magasságvonal, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/október: 649. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az adatok rendre $A A_{0} = s_{a}$ , $B B_{0} = s_{b}$ , $C C_{1} = m_{c}$ , ahol $A_{0}$ , $B_{0}$ a $B C$ , ill. $C A$ oldal felezőpontja, $C_{1}$ pedig $C$ vetülete $A B$ -re.

Feltehetjük, hogy

s_{a} \geq s_{b}

. A feladatot visszavezetjük az

A B S

háromszög megszerkesztésére, ahol

S

A B C

háromszög súlypontja. Az

A B S

háromszögben a súlypont ismert osztási aránya alapján

S A = 2 s_{a} / 3

és

S B = 2 s_{b} / 3

és

S

magassága

A B

fölött

m_{c} / 3

. A szerkesztés menete: a

c

egyenes tetszés szerinti

S_{1}

pontjában merőlegest állítunk és felmérjük

m_{c} / 3

-at, a végpont

S

S

körül

S A

, majd

S B

sugárral kört írunk, ennek

c

-vel való egyik közös pontja

A

, ill.

B

. ‐ Most már

B S

-nek

S

-en túli meghosszabbítására felmérjük

B S

felét, így kapjuk

B_{0}

-t, végül

A

-nak

B_{0}

-ra való tükörképe

C

.
Így

B B_{0} = B S + S B_{0} = 3 B S / 2 = s_{b}

;

B_{0}

magassága

c

fölött

3 / 2

-szer akkora, mint

S

-é, tehát

m_{c} / 2

C

magassága pedig 2-szer akkora, mint

B_{0}

-é, tehát

m_{c}

; így a nyert

A B C

háromszögnek a

B B_{0}

szakasz súlyvonala, és az

S

pont súlypontja. Ekkor pedig az

A S

egyenesnek a háromszögbe eső szakasza

3 A S / 2 = s_{a}

, tehát háromszögünk megfelel a feltételeknek.
Általában 2 megoldást kapunk. Ugyanis az

A

-ra adódó metszéspontok közül elég egyiket figyelembe vennünk,

B

-re azonban már mindkét metszéspontot fel kell használnunk (

S_{1}

-nek

A

-val egyező, ill. ellentétes oldalán). 2 megoldás van, ha

S A > S B > S S_{1}

, másképpen ha

2 s_{a} > 2 s_{b} > m_{c}

; 1 megoldás van, ha

2 s_{a} = 2 s_{b} > m_{c}

(egyenlő szárú háromszög), és ha

2 s_{a} > 2 s_{b} = m_{c}

(ekkor

B B_{0} ⊥ A B

). Nincs megoldás, vagy csak elfajult háromszöget kapunk, ha

m_{c} \geq 2 s_{a} \geq 2 s_{b}

Bor Edit (Szeged, Ságvári E. gyak. g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Visszavezethetjük a feladatot annak az

A^{*} B^{*} C

háromszögnek a megszerkesztésére is, amelyben

A^{*}

B^{*}

A B

egyenesnek az a pontja, amelyre

A^{*} A = A B = B B^{*}

. Ennek oldalai

C A^{*} = 2 s_{b}

és

C B^{*} = 2 s_{a}

, és

C

-ből induló magassága

m_{c}

Harkányi Gábor (Budapest, Piarista g. I. o. t.)

2. Egy további visszavezetési lehetőség az, hogy azt az

A D A_{0}

háromszöget szerkesztjük meg, amelynek

D

csúcsa

A B

-nek

B

-n túli meghosszabbításán van ‐ és

B D = A B / 2

. Ennek oldalai

A_{0} A = s_{a}

A_{0} D = s_{b}

és

A_{0}

-ból húzott magassága

m_{c} / 2

. Ez a háromszög

3 : 2

, az 1. megjegyzésbeli háromszög pedig

3 : 1

arányú nagyítása a fenti

A B S

háromszögnek.

Rácz László (Budapest, Kossuth L. gépip. t. II. o. t.)

3. Új versenyzőink többsége nem vizsgálta meg a megoldhatóság feltételét és a megoldások számát. Ezt nem tekintettük hiánynak, mert eddigi tanulmányaikban ezekről a kérdésekről még nem hallottak. Ajánljuk azonban, hogy a továbbiakban a szerkesztési feladatok ezen szükséges részeire is legyenek tekintettel.