Feladat: 646. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bellay Katalin ,  Kohut József 
Füzet: 1961/április, 168. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/szeptember: 646. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mivel egy háromszög köré írt kör középpontja rajta van az oldalak felező merőlegesén, azért OO1 az AB szakasz, O1O2 pedig az AA' szakasz felező merőlegese (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Ezért OO1O2 és BAA'=α/2 merőleges szárú szögek, tehát az OO1O2 szög nagysága vagy α/2, vagy 180∘-α/2. Hasonlóan ugyanezt az eredményt kapjuk az OO2O1 szögre. Nem lehet azonban, hogy OO1O2 és OO2O1 bármelyike 180∘-α/2 legyen, mert különben az OO1O2 háromszög szögeinek összege nagyobb volna 180∘-nál. Ezért mindkettő α/2-vel egyenlő, tehát az OO1O2 háromszög egyenlő szárú.
A háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha az alapon levő szögek 60∘-osak, vagyis esetünkben ha α/2=60∘, α=120∘.
 

Bellay Katalin (Budapest, IV. ker. Bajza u. ált. isk. VIII. o. t.)
 

Megjegyzés. A bizonyításban nem használtuk ki lényegesen, hogy AA' a belső szögfelező; az állítás akkor is helyes, ha AA' a külső szögfelező. Ekkor azonban α/2 helyére 90∘-α/2 lép.
 

II. megoldás: Az O1O2 egyenes az AA' szakasznak felező merőlegese, ezért AB és AC mindegyikét metszi, legyenek ezek a pontok P és Q (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

Nyilvánvaló, hogy AP=AQ. Legyen a P-ben AB-re, Q-ban AC-re emelt merőlegesek metszéspontja R. ‐ A PQR háromszög hasonló helyzetű O1O2O-val, mert 2 pár oldaluk párhuzamos, ugyanis OO1⊥AB és OO2⊥AC, harmadik oldalaik pedig ugyanazon egyenesen vannak. ‐ A PQR háromszög pedig egyenlő szárú: RP=RQ, mert az APR és AQR derékszögű háromszögek egybevágók, hiszen egy‐egy oldaluk és a rajta fekvő szögek egyenlők.
 

Kohut József (Budapest, Apáczai Csere J. gyak g. I. o. t.)