Kezdőlap


Feladat:	645. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Corrádi G. , Dobó Ferenc , Fazekas P. , Kiss G.
Füzet:	1961/április, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/szeptember: 645. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Tegyük fel, hogy $a$ és $b$ metszik egymást $O$ -ban; ekkor nyilvánvaló, hogy a szóban forgó pontok mindegyike $O$ -túl különböző. Szorítkozzunk egyelőre arra az esetre, amikor $B_{1}$ és $B_{2}$ az $O$ -nak ugyanazon oldalán van, mint $B$ . Ekkor $A_{1}$ és $A_{2}$ is azon az oldalán van $O$ -nak, mint $A$ . Ugyanis pl. az $A B_{1}$ és $B A_{2}$ párhuzamosok a síkot két félsíkra és egy síksávra osztják és $O$ az egyik félsíkon van, ‐ mert nincs rajta a sávba eső $B_{1} B$ szakaszon ‐ ezért az $A A_{2}$ szakaszon sincs rajta, tehát $A$ és $A_{2}$ az $O$ -nak ugyanazon az oldalán van (1. ábra).

1. ábra

O A B_{1}

és

O A_{2} B

háromszögek hasonló helyzetűek, mert oldalegyeneseik páronként egybeesnek, ill. párhuzamosak. Ugyanez az

O A_{1} B

O A B_{2}

háromszögpárra is áll,

O

mindkét háromszögpárnak külső hasonlósági pontja. Így a megfelelő oldalpárok aránya egyenlő:

\begin{matrix} \frac{O A}{O A_{2}} = \frac{O B_{1}}{O B}, ill. \frac{O A_{1}}{O A} = \frac{O B}{O B_{2}} . \end{matrix}

Innen, a bal, ill. jobb oldalakat összeszorozva

\begin{matrix} \frac{O A_{1}}{O A_{2}} = \frac{O B_{1}}{O B_{2}} . \end{matrix}

Másrészt a fentiek szerint az

O A_{1} B_{1}

és

O A_{2} B_{2}

háromszögek

O

-nál levő szöge közös, tehát e két háromszög hasonló, és hasonló helyzetű, ‐

O

ezeknek is külső hasonlósági pontja, ‐ ezért harmadik oldalaik párhuzamosak. Ezt kellett bizonyítanunk.

U_{2}

kezdő-, ill. végpontja egybeesik

U_{1}

vég-, ill. kezdőpontjával, így a két útvonalat egymás után bejárva az

A B_{1} A_{1} B A_{2} B_{2} A = U_{3}

útvonalban olyan zárt, hurkolt hatszöget kapunk, melynek szemben levő oldalai párhuzamosak. Ez további kétféleképpen bontható fel olyan útvonalpárra, melyek ugyanannyiadik szakaszai párhuzamosak, pl.

A_{1} B A_{2} B_{2} = U'_{1}

és

B_{2} A B_{1} A_{1} = U'_{2}

. Ezekben feltevésünk szerint az első és a 2-ik útszakaszpárok párhuzamosak, és bizonyításunkból a 3-ik szakaszpár párhuzamossága következik, ‐ vagyis az állítás megfelelően átfogalmazva is érvényes.
Amikor

B_{1}

és

B_{2}

O

-nak

B

-vel ellentétes oldalán van, a fentiekhez hasonlóan belátható, hogy

O

A

-t is elválasztja

A_{2}

és

A_{1}

-től. Az előbbi esetre kimondott hasonlóságok itt is érvényesek, módosulás csak az, hogy a szögek csúcsszögek és

O

a két háromszögpárnak belső hasonlósági pontja. És mivel az

O A_{1} B_{1}

és

O A_{2} B_{2}

háromszögek

O

-nál levő szöge ismét közös, azért

A_{1} B_{1}

és

A_{2} B_{2}

párhuzamossága ugyanúgy következik az előzőkből, mint a fenti esetben (2. ábra).

2. ábra

Hasonlóan látható be az állítás azokban az esetekben, ha

O

B_{1}

-et, ill.

B_{2}

-t választja külön

B

és

B_{2}

-től, ill.

B

és

B_{1}

-től.
II. Ha

a

és

b

párhuzamosak, akkor az

A B_{1} B A_{2}

és

A B_{2} B A_{1}

négyszögek paralelogrammák, közös középpontjuk az

A B

átló

F

felezőpontja. Így

A_{1}

és

B_{2}

, valamint

A_{2}

és

B_{1}

F

-re tükrösek, az

A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}

négyszög paralelogramma, tehát

A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}

(3. ábra).

3. ábra

Dobó Ferenc (Budapest, I. István g. II. o. t.)

Megjegyzés. A bebizonyított tételnek a mechanikában az ún. kötélsokszögek elméletében fontos szerepe van. ‐ Felhasználható a tétel arra is, hogy megszerkesszük azt az egyenest, amely egy pontból két egyenesnek a véges rajzlapról kieső metszéspontja felé irányul.

M. I.