Kezdőlap


Feladat:	643. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Ferenc , Porpáczy Erzsébet
Füzet:	1961/április, 164 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/szeptember: 643. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Utasunk az első menetben is a $B C$ távolsággal egyenlő utat tett meg, vagyis 14 km-t, hiszen éppen félútról tért vissza $B$ -be. Így ezt a menetet könnyen összehasonlíthatjuk a további kettővel. Az utas az első menetben $3 - 3$ km-t tett meg lejtőn föl- és lefelé, továbbá 8 km-t vízszintesen. Ez a második menettől csak abban tér el, hogy egy 3 km-es lejtős szakasz helyett 3 km vízszintest tartalmaz, és ezért a menetidő 9 perccel hosszabb. Hasonlóan az első menetben a harmadikhoz képest 3 km emelkedő kicserélődött 3 km vízszintes útra, és a menetidő 15 perccel csökkent.
Ezek szerint, ha az első menet megmaradt emelkedőjét és lejtőjét is ugyanolyan hosszú vízszintes útszakaszra cserélnénk ki, akkor a menetidő egyrészt 15 perccel rövidülne, másrészt 9 perccel hosszabbodna, vagyis 3 óra 30 perc $=$ 210 perc lenne, és utasunk végig állandó sebességgel mozogna. Így vízszintes úton 1 km megtevéséhez $210 : 14 = 15$ percre van szüksége az utasnak, másképpen: sebessége $60 : 15 = 4$ km óránként.
Most már, mivel összehasonlításaink szerint 1 km-es emelkedőn a menetidő $15 : 3 = 5$ perccel hosszabb, és 1 km-es lejtőn $9 : 3 = 3$ perccel rövidebb, mint 1 km vízszintesen, azért 1 km emelkedés megtevéséhez $15 + 5 = 20$ perc, 1 km lejtő megtevéséhez pedig $15 - 3 = 12$ perc szükséges. Tehát az utas sebessége fölfelé $60 : 20 = 3$ km óránként, és lefelé $60 : 12 = 5$ km óránként.

Porpáczy Erzsébet (Jászberény, Kállai Éva lg. II. o. t.)

II. megoldás: Jelöljük az utasnak emelkedő, vízszintes, ill. lejtős úton kifejtett sebességét, km/perc egységben mérve

x

y

z

-vel. Ekkor az első menet egymás utáni 3, 8, 3 km-es szakaszainak megtevése

3 / x

8 / y

3 / z

percet vett igénybe, ezek összege 3 óra 36 perc

=

216 perc. Így, a további két menetet is felhasználva a

\begin{matrix} \frac{3}{x} + \frac{8}{y} + \frac{3}{z} = 216, & (1) \\ \frac{3}{x} + \frac{5}{y} + \frac{6}{z} = 207, & (2) \\ \frac{6}{x} + \frac{5}{y} + \frac{3}{z} = 231 & (3) \end{matrix}

egyenletrendszert kapjuk. Ez az

1 / x = p

1 / y = q

1 / z = r

új ismeretlenek bevezetésével

\begin{matrix} 3 p + 8 q + 3 r = 216, 3 p + 5 q + 6 r = 207, 6 p + 5 q + 3 r = 231 \end{matrix}

alakúvá lesz. Az utóbbi két egyenlet összegében

p

és

r

együtthatói egyenlők, akárcsak az elsőben, ezért az említett összeget az első egyenlet 3-szorosából levonva

p

és

r

kiesik:

24 q - (5 q + 5 q) = 3 \cdot 216 - (207 + 231)

, ahonnan

q = 15

. Így az első és a második egyenletből egyszerűsítés után

\begin{matrix} p + r = 32, p + 2 r = 44, \end{matrix}

amiből

r = 12

és

p = 20

. Végül az eredeti ismeretlenekre visszatérve

x = 1 / 20

y = 1 / 15

z = 1 / 12

km percenként, ami az I. megoldás eredményétől csak alakban különbözik.

Kovács Ferenc (Ózd, József A. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Az I. megoldást gyorssá ugyan a számadatok jó áttekinthetősége és egyszerű kapcsolataik, a szóbeli számítás lehetősége tették, ‐ azonban a módszer többjegyű számadatok és nem

1 : 2

arányú lejtőhosszak esetén is használható. Igen tanulságos összehasonlítani az I. megoldás ,,kicseréléseit'' a II. megoldás kiküszöbölésével.