Feladat: 642. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csűrös Miklós 
Füzet: 1961/április, 163 - 164. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Oszthatósági feladatok, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/szeptember: 642. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Írhatjuk, hogy egyrészt

y=x+9x-1=x-1+10x-1=1+10x-1,másrésztx=12⋅n,(1)
ahol n=3, 4, 5, ..., azaz n≥3, egész szám. Most már y akkor és csak akkor egész, ha
y-1=10x-1=100,5(n-2)=20n-2(2)
egész, azaz ha n-2 a 20-nak osztója. A fenti korlátozás szerint n-2≥1, tehát szóba jövő értékei: n-2=1, 2, 4, 5, 10, 20. Így n=3, 4, 6, 7, 12, 22, és x=1,5; 2; 3; 3,5; 6, 11. Ezekkel rendre y=21; 11; 6; 5; 3; 2, valóban egész.
2. Az egyszerűsítés vizsgálata előtt le kell szögeznünk, mit tekintünk egyszerűbb alaknak pl. x=2,5 esetén: a kisebb számokkal írt 11,5/1,5-öt, vagy az ezzel egyenlő 23/3-ot, amely nagyobb, de egész számokat tartalmaz, amabból 0,5=1/2-del való ,,egyszerűsítéssel'' áll elő. A szokottabb 23/3-ot vesszük egyszerűbbnek, mert a ,,törtet egyszerűsíteni'' kifejezés hallgatólag közönséges tört alakot tételez fel, tehát két egész szám hányadosát.
Ebben az értelemben mindig egyszerűsíthetünk, ha x az 1/2-nek páratlan többszöröse, vagyis ha n páratlan, így kaptuk az általános (2) alakot is. Ez tovább akkor és csak akkor egyszerűsíthető, ha n-2 osztható 5-tel, vagyis n=10k+7, ahol k=0, 1, 2, ....
Egész x-ekre (1)-ből adódik, hogy 2-vel minden páratlan x mellett, 5-tel pedig x=5j+1 mellett egyszerűsíthetünk. A mindkét lehetőséget felmutató x=10j+1 számok esetén 10-zel egyszerűsíthetünk.
3. a) y>5, ha y-1>4, vagyis (2)-ből
20n-2>4,n-220<14,n-2<5,n<7,vagyisn=3,4,5,6,
az ilyen értékek száma 4.
b) Hasonlóan y≤3 áll minden olyan esetben, ha n≥12; ilyen n-érték végtelen sok van.
c) A (2) alak szerint x (vagyis n) növekedésével y csökken. Ezért a 1,5≤y≤2,5 előírásnak megfelelő x-eket úgy kapjuk, hogy először az a) eset mintájára, de egyenlőséget is megengedve megkeressük az y≥1,5-et adó n-ek számát, majd pontosan az a) eset mintájára mellőzzük az y>2,5-et adó n-eket. Az előbbiből n1≤42, ilyen érték 40 van, az utóbbiból n2<46/3<16, az ennek megfelelő értékek száma 13, tehát 40-13=27 megfelelő x érték van.
 

Csűrös Miklós (Nagykőrös, Arany J. g. II. o. t. )