Feladat: 641. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ámon Magdolna ,  Bárhory Anna ,  Barna L. ,  Baróti Gy. ,  Bresztyenszky Júlia ,  Corrádi G. ,  Cserép Cs. ,  Csürös M. ,  Deák I. ,  Dobó F. ,  Dudinszky Ilona ,  Fazekas P. ,  Földes Antónia ,  Gáspár Hedvig ,  Gazsó János ,  Gönczy J. ,  Görbe T. ,  Héjja J. ,  Horányi Ilona ,  Jámbor Emese ,  Jankó M. ,  Kászonyi L. ,  Kiss Gábor ,  Krokos J. ,  Kultsár L. ,  Kunszt G. ,  Lajos Judit ,  Lehel J. ,  Lukovics Edit ,  Markó J. ,  Mátrai M. ,  Nagy Angéla ,  Nagy Péter Tibor ,  Nonn A. ,  Páll A. ,  Pázmándi L. ,  Pelikán István ,  Rácz L. ,  Raisz M. ,  Sólyom Ilona ,  Szidarovszky F. ,  Szidarovszky Klára ,  Szilágy Mária ,  Szőllősi G. ,  Sörlei Zs. ,  Tasnády Mária ,  Tekulics P. ,  Varga Virág 
Füzet: 1961/március, 115 - 116. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számkörök, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/szeptember: 641. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

m első jegye nyilvánvalóan 1, utána pedig lehetőleg minél több 0 jegyet kell biztosítanunk. Tartsuk meg tehát N-ből a ,,10'' szám mindkét jegyét, majd a ,,20'', ,,30'', ,,40'', ,,50'' számok 0 jegyét; így elöl 9, két‐két 0 között pedig 19 jegyet törlünk, összesen 9+4⋅19=85 jegyet. A hátralevő 100-85=15 törléssel nem érhetjük el a ,,60'' 0-jegyét, csak úgy, ha közben 19-15=4 számjegyet megtartunk. Az ,,50'' és ,,60'' jegyei között a legkisebb négy jegy sorra az ,,51'', ,,52'', ,,53'', ,,54'' szám 1, 2, 3, 4 jegye. Többet nem törölhetünk, tehát

m=10000012340616263...99100.
Itt a jegyek száma a ,,60''-ből vett 0 jegyig 11, ehhez 39 két-, majd 1 háromjegyű szám kapcsolódik, összesen 11+39⋅2+3=92.
Látható, hogy M és m hátulsó 82 jegyükben, a 0616263...99100 szám jegyeiben megegyeznek, ezért M-m végén 82 db 0 jegy áll, és
d=M-m=(9999978596-1000001234)⋅1082=8999977362⋅1082.
d jegyeinek összege 69=3⋅23, ezért osztható 3-mal. Másrészt osztható 8-cal, mert 1082 osztható vele. Így d osztható 3⋅8=24-gyel.
M és m számtani közepének, K-nak hátulsó 82 jegye ugyanaz lesz, mint M és m megegyező része, mert M és m elülső, különböző tíz‐tíz jegyével írt 9999978596 és 1000001234 számok mindegyike páros, így számtani közepük egész szám. Eszerint a K első tíz jegyével írt szám
5499989915,
és ezt nyilván a N szám első 192-82=110 jegyével leírt
1234567891011...58596(1)
számból kellene előállítanunk 100 jegy törlésével. Ez lehetetlen, mert az első két jegy ,,5''-ből és ,,14''-ből jön, így a megtartandó öt 9-es csak a ,,19'', ,,29'', ,,39'', ,,49'', ,,59'' számokból volna vehető, ekkor viszont nincs honnan vennünk az ötödik 9-es utáni ,,15'' számjegypárt.
A fentiek szerint
d/6=1499996227⋅1092,d/8=112499717025⋅1080,
és így M-d/6 utolsó 82 jegye ismét ugyanaz, mint N-é, m+d/8 és M-d/8 pedig hátulsó 80 jegyükben egyeznek N-nel, így a M-d/6 első tíz jegyével írt
8499982369
számot ismét csak az (1) számból állíthatjuk elő törléssel. Ez lehetséges, az egymás utáni jegyeket az egymás utáni
8, 14, 19, 29, 39, 48, 52, 53, 56, 59
számból vesszük ki.
Hasonlóan az m+d/8 és M-d/8 első 12 jegyével írt
100000123406+112499717025=212499840431,
illetőleg
999997859606-112499717025=887498142581
számot kell 100‐100 jegy kihagyásával előállítanunk az
1234567891011...59606
számból. Ez az első esetben sikerül, éspedig a
2, 12, 14, 19, 29, 38, 40, 43, 51
számok megfelelő jegyének megtartásával, a második esetben viszont nem. Ebben a tekintetben a feladat állítása téves.
 

Gazsó János (Szeged, Ságvári E. gyak. g. L o. t.)