A keresett háromszög $AB$ oldala $k$-nak $d$ hosszúságú húrja lesz. Mármost ismeretes,¹ hogy adott $k$ körből adott $d$ hosszúságú húrokat kimetsző egyenesek összessége (mértani helye) azonos egy a $k$-val koncentrikus $k\text{'}$ kör összes érintőivel ‐ hacsak $d$ kisebb $k$-nak $2r$ átmérőjénél. Egyelőre csak ezt az esetet vizsgáljuk. Eszerint ilyenkor $AB$ megfelelő helyzeteit $k\text{'}$-nek $d$-vel párhuzamos érintői metszik ki $k$-ból.
Másrészt adott körben egyenlő kerületi szögek szárai között egyenlő ívek vannak, így a $PC=f$ egyenes által megfelezett $ACB=\gamma$ szög két egyenlő részének szárai között is. És mivel $\gamma$ szárai között $k$-nak egyik $AB$ íve van, azért $f$-nek át kell mennie az illető $AB$ ív $F$ felezőpontján. Így $f$ csak az $F$-et $P$-vel összekötő egyenes lehet.
Ezek alapján a szerkesztés a következő: $k\text{'}$ egy pontját megkapjuk, ha $k$-ban megszerkesztünk egy tetszés szerinti $LM=d$ hosszúságú húrt és e húr $N$ felezőpontját; ebből $k\text{'}$ sugara $KN$, ahol $K$ a $k$ középpontja. Ezután megszerkesztjük $K$-n át a $d$ irányára merőleges egyenest, messe ez $k\text{'}$-t $E$-ben, $k$-t $F$-ben. $k\text{'}$-nek $E$-beli érintője kimetszi $k$-ból $A$, $B$-t, a $PF$ egyenes pedig ugyancsak $k$-ból $C$-t. Mind $E$-re, mind $F$-re két pontot kapunk, így ugyanez áll az $A$, $B$ pontpárra és $C$-re, ezért a megoldások száma legfeljebb $2\cdot 2=4$. (Az 1. ábra helyzetében 4 megoldás van: $A_1{B}_{1}C\text{'}$, $A_1{B}_{1}C\text{'}\text{'}$, $A_2{B}_{2}C\text{'}$, $A_2{B}_{2}C\text{'}\text{'}$.)

 

1. ábra

 

 

2. ábra