Feladat: 635. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ámon Magdolna ,  Dobó F. ,  Draskóczy Judit ,  Farkas Z. ,  Felszeghy T. ,  Góth L. ,  Görbe T. ,  Kerényi Ilona ,  Kóta J. ,  Lehel J. ,  Máté E. ,  Minkó B. ,  Nagy Dénes L. ,  Nováky B. ,  Pellionisz András ,  Raisz M. ,  Sebestyén Z. ,  Simonovits M. ,  Sonnevend Gy. ,  Szepesvári I. ,  Tasnády Mária ,  Zalán F. Á. ,  Zalán Péter 
Füzet: 1961/március, 108 - 109. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/május: 635. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Vegyük észre, hogy egyik egyenletben sincs az ismeretleneket nem tartalmazó tag. Ebből következik, hogy az x=y=0 értékpár megoldása a rendszernek. Viszont olyan megoldás nincs, amelyben csak az egyik ismeretlen értéke 0, ‐ ugyanis az x=0, y0 feltevés a két egyenletből az egymástól különböző y=1/6, ill y=-99 értékekre vezet, és hasonlóan az x0, y=0 feltevés x=1 és x=16,5-re ‐, ennélfogva a továbbiakban feltehetjük, hogy x0, y0.
A szokásos kiküszöbölés helyett küszöböljük ki a rendszerből az elsőfokú tagokat; evégett a bal oldalakon való beszorzás után:

x2+5xy+6y2=x+y6x2+5xy+y2=-99(x+y)(1)
adjuk hozzá az első egyenlet 99-szeresét a másodikhoz:
105x2+500xy+595y2=0.
Ebből a homogén egyenletből 5y2-nel való osztás útján a két ismeretlen x/y=z hányadosára kapunk egyenletet:
21z2+100z+119=0,ahonnanz={-7/3-17/7.

Mármost x=zy=-7y/3-mal bármelyik egyenletből y=6, és így x=-14, ‐ továbbá hasonlóan x=-17y/7-tel y=35/6, és így x=-85/6.
Ezek szerint az egyenletnek 3 megoldása van:
x1=0,x2=-14,x3=-85/6,y1=0,y2=6,111y3=35/6.
 

Zalán Péter (Aszód, Petőfi S. g. II. o. t.)
 

II. megoldás: Felhasználjuk azt, hogy az (1) alatti második egyenletben az xy-os tag együtthatója ugyanaz, mint az elsőben, x2 és y2 együtthatói pedig felcserélődnek. Így kivonással az xy-os tagok kiesnek és a bal oldalt szorzattá alakíthatjuk:
-5x2+5y2=5(y-x)(x+y)=100(x+y),
innen pedig egyszerűsítéssel és 0-ra redukálással
(x+y)(y-x-20)=0,
és eszerint vagy
x+y=0,vagy(2)y-x-20=0.(3)



A (2)-ből adódó y=-x-et bármelyik egyenletbe helyettesítve x1=0, és így y1=0.
(3)-ból pedig  y=x+20,így6x2+169x+1190=0
és x2=-14, x3=-85/6, amivel ismét a fenti eredményekre jutunk.
 

Pellionisz András (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)