Kezdőlap


Feladat:	632. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh István
Füzet:	1961/február, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Négyzetszámok összege, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/május: 632. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kifejtéssel és összevonással kifejezésünk így alakul:

\begin{matrix} 10 a^{2} + 40 a d + 50 d^{2} . \end{matrix}

(

1 a

)

Próbáljuk meg ezt

\begin{matrix} {(x a + y d)}^{2} + {(z a + u d)}^{2} \equiv (x^{2} + z^{2}) a^{2} + 2 (x y + z u) a d + (y^{2} + u^{2}) d^{2} \end{matrix}

(2)

alakban előállítani, ahol

x

y

z

u

egész számok, ezeket kell úgy meghatároznunk, hogy

a^{2}

a d

és

d^{2}

együtthatói megegyezzenek

(1 a)

megfelelő együtthatóival:

\begin{matrix} x^{2} + z^{2} = 10, \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} 2 (x y + z u) = 40, \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} y^{2} + u^{2} = 50. \end{matrix}

(5)

Könnyű belátni, hogy (3)-at csak azok az egész számpárok elégítik ki, amelyekre

\begin{matrix} | x | = 3, | z | = 1 és | x | = 1, | z | = 3. \end{matrix}

Azonban tekintettel a (2) bal oldalán álló kifejezések szimmetriájára és négyzet jellegére, az általánosság csorbítása nélkül előírhatjuk, hogy

x

és

z

pozitívok legyenek, továbbá teljesüljön

x \geq z

. Így feladatunk arra egyszerűsödött, hogy

x = 3

és

z = 1

mellé kell keresnünk a (4) és (5)-öt kiegészítő egész

y

u

számpárokat.
(4)-ből következik, hogy

y

és

u

nem lehet egyidejűleg negatív, továbbá, hogy ha

y

negatív, akkor abszolút értéke kisebb, mint

u

. Könnyen belátható most már, hogy (5) számbajövő összes megoldásai:

\begin{matrix} \begin{matrix} y= 7, & 7 & 5, & 5, & 1, & 1, & - 1, \\ u= 1, & - 1, & 5, & - 5, & 7, & - 7, & 7. \end{matrix} \end{matrix}

Ezekkel (4) bal oldala rendre az alábbi értékeket veszi fel:

\begin{matrix} \begin{matrix} 44, & 40, & 40, & 20, & 20, & - 8, & 8. \end{matrix} \end{matrix}

Eszerint (2)-nek lényegében két különböző megoldása van:

\begin{matrix} I.  x=3, y=7,  z=1,  u=-1, II. & x = 3, & y = 5, & z = 1, & u = 5, \end{matrix}

és (1)-nek két a kívánt alakú,két tagú négyzetösszeg előállítását kaptuk:

\begin{matrix} a^{2} + 2 {(a + d)}^{2} + 3 {(a + 2 d)}^{2} + 4 {(a + 3 d)}^{2} = {\begin{matrix} {(3 a + 7 d)}^{2} + {(a - d)}^{2}, \\ {(3 a + 5 d)}^{2} + {(a + 5 d)}^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Németh István (Budapest. Bolyai J. Gimn. II. o. t.)