Kezdőlap


Feladat:	625. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baróti György , Nagy Dénes Lajos
Füzet:	1961/február, 66 - 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/április: 625. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a teher- és az expresszvonat sebessége tetszés szerinti, de ugyanazon egységben $c$ , ill. $x c$ ‐ ahol $x$ a keresett arányszám ‐ és legyen a két vonat hosszának összege $h$ (a sebességek megadásánál használt hosszúság egységben). Akár egy irányban, akár szemben halad a két vonat, az egymás melletti elhaladás addig tart, amíg a két vonatnak az a vége, amely a találkozáskor együtt volt, egymástól $h$ távolságra jut. Ennek $t_{1}$ ideje (a sebességek megadásánál használt időegységben) a szemben haladás esetére a $c t_{1} + x c t_{1} = h$ egyenletből $t_{1} = h / (x c + c)$ , mert a mozdonyok az összetalálkozási helytől $c t$ , ill. $x c t$ távolságra jutottak el ellentétes irányban. Egy irányban haladás esetén az expresszvonat mozdonya (és minden pontja) az egymás mellett haladás $t_{2}$ ideje alatt (ugyanazon egységben, mint $t_{1}$ ) az utolérési helytől számítva $h$ -val több utat tesz meg, mint a tehervonat végpontja, tehát $x c t_{2} - c t_{2} = h$ -ból $t_{2} = h / (x c - x)$ . A feladat szerint

\begin{matrix} x = \frac{t_{2}}{t_{1}} = \frac{h}{(x - 1) c} : \frac{h}{(x + 1) c} = \frac{x + 1}{x - 1}, \end{matrix}

és innen ‐ mivel

x - 1 \neq 0

‐

\begin{matrix} x^{2} - 2 x - 1 = 0, \\ x_{1} = 1 + \sqrt[]{2}, x_{2} = 1 - \sqrt[]{2} . \end{matrix}

A feladat tartalmának

x_{2}

nem felel meg, tehát a keresett arányszám

1 + \sqrt[]{2} \approx 2, 414

Baráti György (Budapest, I. István Gimn. I. o. t.)

Megjegyzések. 1. Meggondolásunkat a relatív mozgás kinematikai fogalmára támaszkodva így is mondhatjuk: a jelenséget a tehervonat koordináta-rendszerében vizsgálva az expresszvonat relatív sebessége ellentétes, ill. egyirányú mozgás esetén

x c + c

, ill.

x c - c

, ezért a

h

út megtételéhez szükséges idők a fenti

t_{1}

, ill.

t_{2}

Nagy Dénes Lajos (Budapest, Rákóczi F. Gimn. II. o. t.)

2. A vonatok mozgási irányának ellentétes, ill. megegyező voltát szavak helyett a két sebességnek tulajdonított előjellel is kifejezhetjük. Így a negatív gyöknek is van értelme, de nem hoz lényegesen újat. Csupán az egy irányba és a szemben való mozgás eseteit cseréli fel, továbbá az expressz lassúbb lesz a tehervonatnál.