Feladat: 624. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ámon Magda ,  Bácskai F. ,  Bán T. ,  Báthory Anna ,  Bellay Ágnes ,  Benczúr A. ,  Csákó Gy. ,  Dobó F. ,  Előd A. ,  Endreffy Z. ,  Fajszi Cs. ,  Farkas Z. ,  Fazekas P. ,  Fekete S. ,  Gálfi l. ,  Gáspár R. ,  Gyaraki K. ,  Görbe T. ,  Hargittay Á. ,  Juhász Ildikó ,  Katona Éva ,  Katona Mária ,  Kerényi Ilona ,  Kiss Gábor ,  Kóta J. ,  Kultsár L. ,  Kultsár Sz. ,  Kunszt Zoltán ,  Kövessi Ágnes ,  Lajos Judit ,  Lehel J. ,  Lukovics Edit ,  Markó J. ,  Máthé B. ,  Mezei M. ,  Mikes E. ,  Minkó B. ,  Mucsi J. ,  Nagy Géza ,  Németh I. ,  Nováky B. ,  Patthy l. ,  Porpáczy Erzsébet ,  Rozváczy Judit ,  Schönweitz T. ,  Sebestyén Mihály ,  Sebestyén Zoltán ,  Szidarovszky Ágnes ,  Szidarovszky F. ,  Szőllősi G. ,  Tungler A. ,  Vesztergombi Gy. ,  Vezse J. 
Füzet: 1961/január, 18 - 21. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/április: 624. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen Bözsi pénze x, Rózsié y Ft, az első sál ára s Ft, a mozira elegendőnek látszott pénzmaradvány m Ft és a vásárlás után a két lány megmaradt pénze összesen (a villamosra jutott maradvány) v Ft. Így a 2-ik sál ára 0,8s Ft, a fehér sálé 0,8s-4 Ft, a kicsié 0,6s-3 Ft ‐ ilyet vett Rózsi ‐, végül a Bözsi által vásárolt sál ára 0,6s+3 Ft.
A különböző árak és a leányok pénze közti kapcsolatokat többnyire egyenlőtlenségekkel fejezhetjük ki. Rózsi pénze 50 Ft-tal kiegészítve többet tesz ki s-nél, 40 Ft kölcsönnel viszont még nem éri el azt:

y+40<s<y+50.(1)
Hasonlóan Bözsinek az első sálra tett kijelentéseiből:
x+30<s≤x+40-m.(2)
(Egyenlőség is állhat, ha a sál és a mozijegy ára együtt éppen annyi, mint Bözsi pénze és a kért kölcsön.) Eszerint Bözsi 10 Ft-nál olcsóbb mozijegyre gondolt: m<10.
Bözsi 20 Ft, Rózsi pedig 30 Ft kölcsönnel meg tudná venni a második sálat ‐ és nem említették, marad-e pénzük, tehát
0,8s≤x+20,(3)0,8s≤y+30.(4)



A fehér sál alapján pontos egyenlőséget kapunk:
0,8s-4=y+20.(5)

Rózsi még a kicsi sálat is csak kölcsönnel tudná megvenni, de a szükséges kiegészítés kevesebb, mint 10 Ft:
y<0,6s-3<y+10.(6)
Bözsi viszont ezt már a maga pénzéből is ki tudja fizetni, de ha 10 Ft-ot kölcsönözne Rózsinak, akkor ő sem vehetné meg:
x-10<0,6s-3<x.(7)

Végül kettejük pénzének és a két megvett sál (0,6s-3)+(0,6s+3)=1,2s árának különbsége v, vagyis
x+y-1,2s=v.(8)

Most már (5), majd (8) alapján mindenütt kiküszöbölhetjük x-et és y-t:
y=0,8s-24,(5a)x=0,4s+24+v.(9)


Az (5a) kifejezés feleslegessé teszi (4)-et. Másrészt (1)-ből
0,8s+16<s<0,8s+26.
és így mindenütt 0,8s-et levonva, majd a pozitív 0,2-del való osztással (az egyenlőtlenségek iránya változatlan marad):
16<0,2s<26,azaz80<s<130.(10)

Ugyanígy (6)-ból
0,8s-24<0,6s-3<0,8s-14,
és mindenütt 0,8s-3-at levonva, majd a negatív -0,2-del osztva (amikor az egyenlőtlenségek iránya ellentétesre fordul):
-21<-0,2s<-11,azaz105>s>55.(11)
(9) alapján (2)-ből:
0,4s+54+v<s≤0,4s+64+v-m.(12)
v-ről semmi további adatunk, kapcsolatunk nincs, ezért ezt csak az értékére vonatkozó feltevéssel küszöbölhetjük ki. A villamosjegy árát 70 fillérnek véve 0,70≤v≤1,40, így (12) bal oldalának értéke legalább 0,4s+54,70, és a jobb oldal értéke legfeljebb 0,4s+65,39-m. Az m-et is csak így küszöbölhetjük ki. Mivel m szorzója negatív, és ez a tag a nagyobb oldalon áll, azért alsó becslést kell alkalmaznunk, így ugyanis a nagyobb oldalt legkevésbé csökkentjük. Feltesszük, hogy a mozijegy ára legalább 2 Ft, azaz m≥2. Ezekkel (12) így alakul
0,4s+54,70<s≤0,4s+63,39,
és innen a már látott lépésekkel
91,16<s≤105,65.(13)

(7)-ből ugyancsak (9) alapján, hasonlóan
0,4s+14,70≤0,4s+14+v<0,6s-3<0,4s+24+v<0,4s+25,4088,50<s<142.(14)



Végül (3)-ból (9) alapján
s≤113,50.(15)
Az eddigiekben s-re (10), (11), (13) és (14)-ben alulról és felülről kaptunk korlátozást, továbbá (15)-ben felülről. Az alsó korlátok legnagyobbika a (13)-beli 91, 16, a felső korlátok legkisebbike pedig a (11)-beli 105, de az utóbbival s nem lehet egyenlő. Mivel még s-nek 20%-a, 5-ödrésze az eladó szerint pontosan fizethető érték, vagyis s a 0,05-nak egész számú többszöröse, azért (1)‐(4), (6), (7),(10), (11), (13)‐(15) mindegyike akkor és csak akkor teljesül ha
91,20≤s≤104,95.

Ebből (5a) alapján Rózsi pénzére: 0,8-del való szorzás, majd 24 levonása útján adódik:
72,96≤0,8s≤83,96és48,96≤y≤59,96.

Hasonlóan (9) alapján Bözsi pénzére
61,18≤x≤67,37.
(Tekintetbe vettük, hogy s legkisebb értékét v=0,70-dal, legnagyobb értékét v=1,39-dal kaptuk, ezért x belőlük számított korlátainál ismét ezeket az értékeket használtuk.)
Végül a sálak árára nyert kifejezésekből a megvett sál z=0,6s-3, ill. z+6 árára
51,72≤z≤59,97,ill.52,72≤z+6≤65,97.

Próbáljuk ki eredményeinket s legkisebb és legnagyobb értéke mellett ! Ebben se felejtsük, hogy az előbbi a v=0,70 feltevéssel, az utóbbi pedig v=1,39 és m=2-vel adódott.
Has=91,20Ft,s=104,95Ft,akkory=48,96Ft,x=61,18Fty=59,96Ft,x=67,37Ft,

és valóban teljesül
(88,96<)91,20<98,96,(99,96<)104,95<109,96,(1)(91,18<)91,20≤99,18,(97,37<)104,95≤105,37,(2)(71,18<)72,96≤81,18,(77,37<)83,96≤87,37,(3)(68,96<)72,96≤78,96,(79,96<)83,96≤89,96,(4)(48,96<)51,72<58,96,(59,96<)59,97<69,96,(6)(51,18<)51,72<61,18,(57,37<)59,97<67,37.(7)
Ezek szerint Bözsi a 61,18-51,72=9,46 Ft, ill. 67,37-59,97=7,40 Ft maradványából ki tudta fizetni Rózsi 51,72-48,96=2,76 Ft, ill. 59,97-59,96= =0,01 Ft hiányát és a 6 Ft ráfizetést, végül maradt 0,70, ill. 1,39 Ft-ja.
 

Katona Mária (Budapest, Szilágyi E. lg. II. o. t.)
Szidarovszky Ágnes (Budapest, Ságvári E. gyak. lg. II. o.)
 

Megjegyzések 1. A beszélgetés szerint kölcsönkért összegként elsősorban a 10 Ft valamely egész többszöröse jött szóba, ennél kisebb összeg pedig csak szükségből. Így feltehető, hogy a 2-ik sálhoz Bözsinek nem lett volna elég 10 Ft-nyi kölcsön és Rózsinak sem elég 20 Ft. Ekkor (3) és (4) helyére
x+10<0,8s≤x+20,ill.y+20<0,8s≤y+30
lép. A megoldás ezt is kielégíti, a megfelelő értékek a próbákban zárójelben állnak.
2. A gyorsan pergő beszélgetés gyors számolást és kerek értékeket tételez fel. Így valószínű, hogy a sálak ára 100, 80, 76, 57, ill. 63 Ft volt, és a leányok pénze kb. 65, ill. 56 Ft.
 

Kunszt Zoltán (Pápa, Türr I. g. II. o. t.)