Csak azokkal az esetekkel foglalkozunk, amelyekben a szóban forgó egyenesek benne vannak az $A$, $B$, $C$, $D$ pontok síkjában.
1. A sík adott $e$ egyenesétől adott $d$ távolságra levő pontok azokon a $g_1$, $g_2$ egyeneseken vannak rajta, melyek $e$ két oldalán, vele párhuzamosan, $d$ távolságban haladnak. Így $g_1$, és $g_2$ egymással is párhuzamosak. Kérdésünkben tudjuk, hogy bizonyos $A$, $B$, $C$, $D$ pontokhoz létezik egy tőlük egyenlő távolságra levő $e$ egyenes. Ebből következik, hogy $A$, $B$, $C$, $D$ csak két párhuzamos $g_1$, $g_2$ egyenes pontjai közül valók lehetnek. Elhelyezkedésük háromféle lehet:
$\alpha )$ $A$, $B$, $C$, $D$ közül kettő valamely $g_1$-en, a további kettő pedig egy a $g_1$-gyel párhuzamos, tőle különböző $g_2$ egyenesen van. Választhatjuk a betűzést úgy, hogy ezek az $A$, $B$ és $C$, $D$ pontpárok, vagyis $AB\parallel CD$; így $A$, $B$, $C$, $D$ egy trapéz csúcsai.
$\beta )$ A pontok közül három ‐ pl. $A$, $B$, $D$ ‐ $g_1$-en van, $C$ pedig nincs rajta $g_1$-en. Így pl. $A$, $B$, $C$ háromszöget alkot, $D$ pedig az $AB$ oldalegyenes valamely pontja.
$\gamma )$ A pontok mindegyike egy egyenesen van (ez $g_1$).
Az $\alpha$ és $\beta$ lehetőség mellett megadhatjuk a szóban forgó egyenest: ez csak a trapéz középvonalának, ill. a háromszög $AB$ oldalával párhuzamos középvonalának egyenese lehet, az egyenlő távolság pedig a trapéz, ill. a háromszög megfelelő magasságának fele.
A $\gamma$ esetben $g_2$ és vele $e$ is határozatlan, ekkor számtalan sok megfelelő egyenes van: bármely $g_1$-gyel párhuzamos egyenes megfelel.
II. Ha még egy, a pontjainktól egyenlő távolságban levő $f$ egyenesről tudunk (természetesen $f$ nem azonos $e$-vel), akkor pontjaink helyzete $f$-hez képest is az előző három lehetőség valamelyike.
Ha a pontok $e$-hez képest $\alpha$-elhelyezkedésűek, akkor $f$-hez képest sem $\beta \text{-}$, sem $\gamma$-elhelyezkedésűek nem lehetnek, mert egy trapéz csúcsai közül sem $3$, sem $4$ nem lehet egy egyenesen. Továbbá $f$ nem lehet párhuzamos $e$-vel, mert különben $AB=g_1$-gyel is párhuzamos volna, márpedig láttuk, hogy pontjaink $A$, $B$ és $C$, $D$ párba kapcsolása esetén csak egy megfelelő $e$ egyenes van. Eszerint pontjaink egy $e$-től különböző irányhoz képest $\alpha$ helyzetűek, más szóval pl. az $AD$ és $BC$ egyenesek párhuzamosak. Így pontjaink egy paralelogramma csúcsai.
Lehetetlen, hogy pontjaink $e$-hez képest $\beta$ helyzetűek legyenek, mert $f$ most sem lehetne párhuzamos $e$-vel, így iránya már csak $CA$, $CB$ vagy $CD$ lehetne, ezek azonban egy ponton mennek át, nincs köztük két párhuzamos.
Ha pontjaink $e$-hez képest $\gamma$ helyzetűek, akkor $f$ csak $e$-vel párhuzamos lehet, ez azonban semmitmondó, magától értetődő megállapítás.
Eszerint pontjaink egy paralelogramma csúcsai.