A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Csak azokkal az esetekkel foglalkozunk, amelyekben a szóban forgó egyenesek benne vannak az , , , pontok síkjában. 1. A sík adott egyenesétől adott távolságra levő pontok azokon a , egyeneseken vannak rajta, melyek két oldalán, vele párhuzamosan, távolságban haladnak. Így , és egymással is párhuzamosak. Kérdésünkben tudjuk, hogy bizonyos , , , pontokhoz létezik egy tőlük egyenlő távolságra levő egyenes. Ebből következik, hogy , , , csak két párhuzamos , egyenes pontjai közül valók lehetnek. Elhelyezkedésük háromféle lehet: , , , közül kettő valamely -en, a további kettő pedig egy a -gyel párhuzamos, tőle különböző egyenesen van. Választhatjuk a betűzést úgy, hogy ezek az , és , pontpárok, vagyis ; így , , , egy trapéz csúcsai. A pontok közül három ‐ pl. , , ‐ -en van, pedig nincs rajta -en. Így pl. , , háromszöget alkot, pedig az oldalegyenes valamely pontja. A pontok mindegyike egy egyenesen van (ez ). Az és lehetőség mellett megadhatjuk a szóban forgó egyenest: ez csak a trapéz középvonalának, ill. a háromszög oldalával párhuzamos középvonalának egyenese lehet, az egyenlő távolság pedig a trapéz, ill. a háromszög megfelelő magasságának fele. A esetben és vele is határozatlan, ekkor számtalan sok megfelelő egyenes van: bármely -gyel párhuzamos egyenes megfelel. II. Ha még egy, a pontjainktól egyenlő távolságban levő egyenesről tudunk (természetesen nem azonos -vel), akkor pontjaink helyzete -hez képest is az előző három lehetőség valamelyike. Ha a pontok -hez képest -elhelyezkedésűek, akkor -hez képest sem , sem -elhelyezkedésűek nem lehetnek, mert egy trapéz csúcsai közül sem , sem nem lehet egy egyenesen. Továbbá nem lehet párhuzamos -vel, mert különben -gyel is párhuzamos volna, márpedig láttuk, hogy pontjaink , és , párba kapcsolása esetén csak egy megfelelő egyenes van. Eszerint pontjaink egy -től különböző irányhoz képest helyzetűek, más szóval pl. az és egyenesek párhuzamosak. Így pontjaink egy paralelogramma csúcsai. Lehetetlen, hogy pontjaink -hez képest helyzetűek legyenek, mert most sem lehetne párhuzamos -vel, így iránya már csak , vagy lehetne, ezek azonban egy ponton mennek át, nincs köztük két párhuzamos. Ha pontjaink -hez képest helyzetűek, akkor csak -vel párhuzamos lehet, ez azonban semmitmondó, magától értetődő megállapítás. Eszerint pontjaink egy paralelogramma csúcsai.
Juhász Ildikó (Bonyhád, Perczel M. közg. t. III. o. t.) |
Megjegyzés. Néhány dolgozat foglalkozott nem az , , , pontok síkjában levő egyenesekkel is, de csak egy megfelelő egyenes esetében. Két megfelelő egyenes kérdése középiskolai geometriai ismeretekkel nem vizsgálható eredményesen. |