A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Egyenletünk és -ra szimmetrikus, másodfokú, határozatlan egyenlet, a megoldásra vonatkozó Diophantosz-i követelménnyel. Tekintsük benne egyedül -et ismeretlennek, -t pedig olyan paraméternek, amely csak egész értékeket vehet fel. -ra redukálva, majd az oldóképlettel:
akkor és csak akkor valós, ha a diszkrimináns nem negatív, akkor és csak akkor racionális, ha teljes négyzet, végül akkor és csak akkor egész, ha (2)-ben a számláló páros. áll be, ha | | vagyis | | Ezekkel a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja alapján így írható: Eszerint, az nagyságviszonyra tekintettel, csak a | | (4) | értékekre teljesül, mert a (3)-beli különbségek csak így ellentett jelűek. (4)-nek a következő három egész szám tesz eleget: Velük mindegyik esetben teljes négyzet: , , , és négyzetgyöke ellentétes párosságú -nal, ennélfogva egyező párosságú (2) számlálójának első tagjával, -gyel, így mindig egész:
Mindezek szerint egyenletünk megoldásai a következő számpárok: | |
Horváth Kálmán (Kaposvár, Táncsics M. g. II. o. t.) | Megjegyzések. 1. nem negatív voltának és teljes négyzet voltának előírását egybe kapcsolhatjuk a követelménybe, ahol nemnegatív egész szám. Ekkor | | és mivel is egész, azért , ahol nem negatív egész, másképpen . Ezt nyilván csak és , elégíti ki, és ezekből jutunk az és , valamint értékekre.
Schönweitz Tivadar (Pannonhalma, Bencés g. II. o. t.) | 2. Burkoltabb formában, de lényegében ugyanerre jut a következő megoldás is. Legyen és , és fejezzük ki -t és -t az | | egyenletrendszerből: , . Ezeket (1)-be helyettesítve | | amiből I: és , ez , -re megoldás, továbbá II: , , további megoldás. Minden egyes , megoldásból egy , megoldást kapunk a helyettesítést visszafordító , képletekből, és ezek egészek, mert a kapott , értékpárok tagjai egyenlő párosságúak.
3. Bizonyítás nélkül megjegyezzük, hogy az adott egyenlet -ra redukált alakjának a koordináta-rendszerben az ábrán látható ellipszis felel meg. Látjuk, hogy a vonal csak a kapott rácsponton megy át, vagyis csak e pontjának mindkét koordinátája egész szám. (Olyan pontja nincs is az ellipszisnek, amelyre csak az egyik koordináta egész.) II. megoldás: Az (1) egyenlet és -ra szimmetrikus, másodfokú, ezért bármelyik ismeretlen értékét megválasztva a másikra legfeljebb érték adódik. Könnyű látni, hogy az I: értékpár kielégíti az egyenletet. Keressük meg az mellett adódó második gyököt! Ekkor (1) így alakul: , ennek egyik gyöke , amit újra meg kellett kapnunk, a másik , egész szám. Kaptuk a II: értékpárt. Ebből és felcserélésével kapjuk a III: értékpárt. Eszerint mellett is van megoldás, keressük meg ismét a másik -et: -ből (ez a III) és , egész szám, tehát IV: . Ebből felcseréléssel és -ből kiindulva hasonlóan VI: . Ezek után meg kell mutatnunk, hogy több megoldás nincs. Minden más megoldásban és vagy -nál kisebb, vagy -nél nagyobb egész szám volna. Könnyű belátni, hogy , mindegyike nem lehet negatív, mert (1)-ből átrendezéssel és itt , mellett a bal oldal negatív, a jobb oldal pedig , vagy pozitív. Ugyanezért olyan megoldás sincs, amelyben és nagyobb -nél; az ellenkező esetben ugyanis volna olyan pozitív , számpár, amelyre , , és teljesülne az (1)-ből adódó | | másképpen egyenlet. Végül hasonlóan olyan megoldás sincs, melyben , egyike negatív másika nagyobb -nél, pl. és , ahol , mert ezekkel (1)-ből, és itt a bal oldal negatív volna, a jobb oldal pedig pozitív. Ezzel a megoldást befejeztük. Összeállítva a következők dolgozatából:
Szepesvári István (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.) | Vesztergombi György (Budapest, Piarista g. II. o. t.) |
Megjegyzés. Az utolsó átalakítás helyett az alábbiak szerint is beláthatjuk, hogy lehetetlenségre vezet , alakú megoldás feltételezése. (1) átalakításával | | és itt a bal oldal mindkét tagja negatív vagy lenne.
Kiss Tünde (Tamási, Béri Balogh Á. g. II. o. t.) | III. megoldás: Az egyenlet jobb és bal oldalának különbségét -vel szorozva a kifejezést négyzetekké tudjuk alakítani:
Egyenletünk tehát a következő alakban írható: Ez egész , értékekre csak úgy teljesülhet, ha két négyzet értéke , a harmadiké . A lehetséges megoldások tehát:
|