Feladat: 618. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benczúr A. ,  Farkas Z. ,  Fischer A. ,  Gáspár R. ,  Góth L. ,  Gyaraki K. ,  Görbe Tamás ,  Katona Mária ,  Kender Etelka ,  Kóta J. ,  Máté E. ,  Mezei Mihály ,  Nagy Dénes L. ,  Opálény M. ,  Pókos Erzsébet ,  Rácz M. ,  Rozváczy Judit ,  Sebestyén Z. ,  Sonnevend Gy. ,  Szidarovszky Ágnes ,  Szilágyi Mária ,  Zalán P. 
Füzet: 1960/december, 203 - 205. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenletrendszerek grafikus megoldása, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Numerikus és grafikus módszerek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/február: 618. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen egy kisebb csavar átlagos tömege x, egy nagyobbé pedig y gramm. Ekkor a

3x+2y=319(I)2x+3y=351(II)
egyenletrendszerből
x=3⋅319-2⋅3513⋅3-2⋅2=51(=x0),y=3⋅351-2⋅3193⋅3-2⋅2=83(=y0).(1)
Tekintve a mérleggel elérhető pontosságot, a két mérési eredmény mértékszáma helyén minden olyan d, ill. e számot figyelembe kell vennünk, amelyre
318,5≦d≦319,5ill.350,5≦e≦351,5,(2)
mert mérlegünk minden ilyen d, e mértékszámú tömeget 319, ill. 351 grammnak mutat.
Az (I) és (II) helyett így adódó
3x+2y=d,2x+3y=e
rendszerből
x=3d-2e5,y=3e-2d5.(3)

Jellemezzük (1) eredményeink pontosságát azzal a legnagyobb eltéréssel, ami (1) és (3) között létrejön, miközben d és e minden lehetséges értékpáron átfut. A 617. gyakorlatbeliekhez hasonló meggondolásokkal x számlálója úgy lesz legnagyobb, ha d legnagyobb és e legkisebb értékét vesszük:
x≦3⋅319,5-2⋅350,55=51,5,vagyisxmax-x0=0,5gramm.
A hasonlóan képezett
xmin=3⋅318,5-2⋅351,55=50,5,
ymax=3⋅351,5-2⋅318,55=83,5, ymin=3⋅350,5-2⋅319,55=82,5

értékekkel a legnagyobb |x-x0| és |y-y0| eltérés minden esetben 0,5 grammnak adódik. Azt mondhatjuk, az (1) eredmények pontossága annyi, mint az egyes méréseké, tehát annyi, mintha 1 kis és 1 nagy csavart külön-külön mértünk volna meg.
 

Görbe Tamás (Budapest, Bem J. g. I. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Az eltérések a következő alakban is vizsgálhatók:

x-x0=3(d-319)-2(e-351)5,y-y0=3(e-351)-2(d-319)5.

2. A megoldás végső megállapítása meglepő, mert természetesnek tartjuk, hogy több egyforma tárgy egyszerre való mérésével a pontosságot növelhetjük, más szóval a lehetséges hiba felső korlátját kisebbnek kapjuk. Valóban, ha 5 kis csavart 255, majd 5 nagyobb csavart 415 grammnak mértünk volna, ebből x0 és y0 fenti értékét 0,1 grammnyi pontossággal kaptuk volna. ‐ A vélt ellentmondás annak meggondolásával oszlik el, hogy egyetlen mérés eredménye vagy felfelé tér el a mérni kívánt valódi értéktől, vagy lefelé; a feladatban viszont x0, y0 számítását a két egymástól független mérési leolvasásból kétszeres hibalehetőség terheli. A két eltérés irányára is 4 különböző pár veendő tekintetbe: fel-fel, fel-le, le-fel, le-le. Láttuk, hogy két ellentett jelű eltérés egymás hatását erősíti; viszont két egyirányú eltérés kevésbé torzítja az eredményt, pl. d=319,4 és e=351,3-ból x=51,12 és y=81,02.
3. Az eredmények pontossága minden olyan esetben az egyes mérések pontosságával egyenlő, ha a feltett kis csavarok száma az egyik mérésben 1-gyel több, a másikban 1-gyel kevesebb a nagy csavarok számánál. Ugyanis a
kx+(k-1)y=d,(k-1)x+ky=e
egyenletrendszerből, ahol k a kis csavarok száma,
x=kd-(k-1)e2k-1,y=ke-(k-1)d2k-1,
és itt pl. x számlálójában d legnagyobb értékével 0,5k és e legkisebb értékével 0,5(k-1) növekedés állhat be, összesen 0,5(2k-1), tehát x legnagyobb lehetséges növekedése 0,5gramm.
 

Mezei Mihály (Budapest, I. István g. II. o. t.)
 

4. A 617. gyakorlat II. megoldásához hasonló grafikus megoldásban az I és II egyenleteknek megfelelő sávok az M metszéspont helyéül paralelogrammát határoznak meg. Mindkét sáv egyenesei balról jobbra süllyednek, mert pl. I-ben x-et növelve y csökken; továbbá d, ill. e növelésével távolodnak a tengelyek metszéspontjától. Ebből látható, hogy xmin és ymax a dmin és emax-ból adódnak, xmax és ymin pedig dmax és emin-ból.
 
 

5. A szemlélet szerint valószínű ‐ bizonyítása azonban messze vezetne ‐, hogy ha x és y együtthatóinak aránya az I- és II-beli 3/2 és 2/3 helyett az 1-től jobban eltérő érték, akkor az ábrázoló egyenesek az egyik tengelyhez kisebb szöggel hajlanak, továbbá a sávok keskenyebbek, és ezért a paralelogramma ,,hosszú'' átlója rövidebb, és a tengelyeken való vetületei is rövidebbek, x és y pontatlansága kisebb.