Kezdőlap


Feladat:	616. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Demeter Sándor
Füzet:	1960/december, 200. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/február: 616. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessünk be más jelöléseket még a bizonyítás előtt. Legyen

\begin{matrix} \frac{a - c}{a + c} = p és \frac{b - c}{b + c} = q, \end{matrix}

ekkor azonosságunk:

\begin{matrix} {(\frac{p + q}{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}})}^{2} = \frac{p^{2} + q^{2}}{{(\frac{1}{p})}^{2} + {(\frac{1}{q})}^{2}} . \end{matrix}

(2)

A bal oldali alapban a nagy nevezőbeli nevezők szorzatával bővítve

\begin{matrix} {(\frac{(p + q) p q}{q + p})}^{2} = {(p q)}^{2} = p^{2} q^{2} . \end{matrix}

A jobb oldalon a nevezőbeli négyzetreemelések után hasonlóan

\begin{matrix} \frac{p^{2} + q^{2}}{\frac{1}{p^{2}} + \frac{1}{q^{2}}} = \frac{(p^{2} + q^{2}) p^{2} q^{2}}{q^{2} + p^{2}} = p^{2} q^{2} . \end{matrix}

Eszerint (2) helyes, ‐ természetesen feltéve, hogy az előforduló kifejezéseknek van értelmük, vagyis

p

q

0

-tól különbözők és reciprokuk összege sem

0

, ami akkor és csak akkor teljesül, ha összegük nem

0

.
Az eredeti változókra visszatérve (1) is érvényes, ha

a + c

b + c

a - c

b - c

nem

0

és a bal oldali nagy nevező sem tűnik el:

\begin{matrix} \frac{a + c}{a - c} + \frac{b + c}{b - c} \neq 0, \end{matrix}

(3)

amiből

a b - c^{2} \neq 0

. (Valóban, pl.

a = 4

b = 9

c = \pm 6

mellett (3) bal oldala

0

.) A ,,2'' kitevő helyett

n

-et írva hasonlóan látható be, hogy (1) bármely (pozitív egész) kitevővel érvényes.

Demeter Sándor (Sárospatak, Rákóczi g. II. o. t.)