Kezdőlap


Feladat:	615. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bellay Ágnes , Benczúr A. , Dobó F. , Dóra L. , Endreffy Zoltán , Farkas Z. , Fischer A. , Gáspár R. , Gyaraki K. , Görbe T. , Horváth K. , Kálmán B. , Katona Mária , Kóta J. , Kunszt Z. , László G. , Lehel J. , Markó I. , Máté E. , Minkó B. , Nádasdy G. , Nováky B. , Sebestyén Z. , Simonovits M. , Sonnevend Gy. , Szepesvári I. , Szőllősi G. , Tószegi S. , Tóth A. , Tóth Edit , Vág I. , Vesztergombi Gy. , Zalán P.
Füzet:	1960/december, 199. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Gömb és részei, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/január: 615. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$G_{1}$ -nek és az $A B D$ lap síkjának legalább két különböző közös pontja van: $A$ és $B$ , ezért egymást egy $k_{1}$ körben metszik. $A K_{1}$ és $B L_{1}$ a $k_{1}$ -nek szelői (egyikük vagy mindkettőjük érintője is lehet $k_{1}$ -nek), e két egyenes közös pontja $D$ . ( $D$ -ről feltehetjük, hogy nincs rajta $G_{1}$ -en, mert különben azonos lenne $K_{1}$ -gyel és $L_{1}$ -gyel, továbbá $M_{1}$ -gyel is, és így nem lenne értelme a $K_{1} L_{1} M_{1}$ háromszög alakjáról beszélni.)

Eszerint a

D A B

és

D L_{1} K_{1}

háromszögek hasonlók, a csúcsok a felsorolás sorrendjében felelnek meg egymásnak. (A további hasonlóságokat is mindjárt így írjuk fel.) Ugyanez áll a

G_{2}

és

A B D

metszésével adódó

k_{2}

kör felhasználásával a

D A B

és

D L_{2} K_{2}

háromszögekre. Eszerint a

D L_{1} K_{1}

és

D L_{2} K_{2}

háromszögek hasonlók, az egymásnak megfelelő

D

csúcsaik egybeesnek, és itt metszik egymást a további megfelelő csúcspárokat összekötő

L_{1} L_{2} \equiv D B

és

K_{1} K_{2} \equiv D A

egyenesek, azért a

D L_{1} K_{1}

és

D L_{2} K_{2}

háromszögek egyszersmind hasonló helyzetűek. Ezért

L_{1} K_{1}

és

L_{2} K_{2}

oldalaik párhuzamosak.
Ugyanezen meggondolást a

B C D

, majd a

C A D

lapban elvégezve adódik

L_{1} M_{1} ∥ L_{2} M_{2}

és

M_{1} K_{1} ∥ M_{2} K_{2}

. Eszerint a

K_{1} L_{1} M_{1}

és

K_{2} L_{2} M_{2}

háromszögek hasonlók. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Endreffy Zoltán (Budapest, I. István g. II. o. t.)