|
Feladat: |
614. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Benczúr A. , Csákó Gy. , Endreffy Z. , Farkas Z. , Felszeghy T. , Gálfi l. , Gáspár R. , Katona Éva , Kunszt Z. , Minkó B. , Nádasdy G. , Nagy Dénes L. , Nováky B. , Sebestyén Z. , Szepesvári I. , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky F. , Zalán Péter |
Füzet: |
1960/november,
154 - 156. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Terület, felszín, Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/január: 614. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek az trapéz ismeretlen párhuzamos oldalai és , adott szárai és , adott átlói , .
Az oldalak párhuzamossága egyenlőség alakjában azzal jellemezhető, hogy az és háromszögpárban a közös alaphoz tartozó magasságok egyenlők. Ebből továbbmenve a területek is egyenlők. Ezt a Heron-képlettel kifejezve ‐ annak beszorzással előálló | | alakjából, ahol , , az oldalak ‐ egyismeretlenes egyenletet kapunk -ra (pontosabban: elsőfokú egyismeretlenes egyenletet -re):
Innen
Ugyanezzel a meggondolással fejezhető ki az és háromszögek területének egyenlőségéből. Ekkor mindössze és szerepe cserélődik meg, keresett kifejezését tehát megkapjuk, ha és szerepét és egyidejűleg és -ét felcseréljük. Így
tehát csak és cserélődik meg: | | (2) | Vegyük észre, hogy (2) számlálójának 2-ik tényezője és nevezőjének betűs tényezője úgy is előáll, ha (1) megfelelő tényezőit felcseréljük, majd -gyel szorozzuk. Ez az észrevétel megkönnyíti a számítást. A két -gyel való szorzás természetesen el is maradhat. (Ugyanezen eredményre jutottunk volna az , és , betű-párok tagjainak kölcsönös felcserélésével is.) A számításokban a két szár-adatot nyilván tetszés szerint oszthatjuk el és szerepére. Ez után és megválasztására 2 lehetőség látszik, de az egyikről a másikra való áttérés ‐ vagyis és cseréje ‐ mint láttuk ‐ csupán felcseréli -t -vel. A számpéldákban I. , , , -el és ; ez a trapéz derékszögű, . II. , , , -zal és . Ez a trapéz hurkolt, a csúcsnál az háromszögben kisebb szög adódik, mint -ben. III. , -nel és kifejezése határozatlan, alakú. IV. , , -cel , ez a trapéz egyszersmind paralelogramma, mert párhuzamos oldalai egyenlők. A III. példában mind a szárak, mind az átlók egyenlők, ezért a trapéz szimmetrikus. A határozatlanság magyarázata, hogy két adat: szár és átló nem határozza meg egyértelműen a szimmetrikus trapézt. Az és háromszögek mindegyikéből a háromszög-egyenlőtlenséggel adódik, e korlátok között választott bármely -val az és háromszögek tükrösek felező merőlegesére, és így párhuzamos -vel. A IV. példa is egyenlő szárú, de különböző átlójú trapéz. Ilyen minden ferdeszögű paralelogramma.
Zalán Péter (Aszód, Petőfi S. g. II. o. t.) | Megjegyzés. Az (1) és (2) eredmények teljes diszkusszióját mellőzve csak a következőkre mutatunk rá: 1. a háromszög-egyenlőtlenséget az átlók , , , metszetei és a , szár által meghatározott két háromszögre alkalmazva, majd összeadással kapjuk, hogy konvex trapézban egyrészt , másrészt . 2. és esetén , a négyszög paralelogramma. 3. és esetén , a négyszög hurkolt, csúcsait az , oldalakkal és , átlókkal bíró paralelogramma csúcsai adják. (A 2. megállapítás szemléletesen is belátható: az és párhuzamos egyenesek távolságának bármely alkalmas ‐ , , , mindegyikénél kisebb ‐ megválasztása esetén az egyenlő , szakaszpár egymáshoz képest kétféleképpen illeszthető és közé; ha nem párhuzamosak, akkor végpontjaik szimmetrikus trapézt alkotnak, de ezt kizárja; tehát párhuzamosak. Hasonlóan látható be a 3. is.) 4. Nincs megoldás, ha és nevezője 0. Ilyenkor esetén , eszerint van olyan konvex trapéz, melynek magassága és egyik szára , párhuzamos oldalai és , átlói és , és olyan konvex trapéz is, melyben átló, és szárak.
|
|