|
Feladat: |
613. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Benczúr A. , Dóra L. , Dringó L. , Endreffy Z. , Fajszi Csaba , Farkas Z. , Földes I. , Gálfi l. , Gáspár R. , Góth L. , Gyaraki K. , Katona Mária , Kender Etelka , Kerényi Ilona , Kéry G. , Kiss G. , Kóta J. , Kunszt Z. , Lehel J. , Nováky B. , Opálény Mihály , Raffay I. , Sebestyén Z. , Simonovits Miklós , Sonnevend Gy. , Szepesvári I. , Szidarovszky F. , Tasnády Mária , Tekulics P. , Tóth Klára , Vesztergombi Gy. , Visy Zs. , Zalán P. , Zsiday-Galgóczy K. |
Füzet: |
1960/november,
152 - 154. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Pont körüli forgatás, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Hozzáírt körök, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/január: 613. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Gondoljuk a feladatot megoldottnak és a nyert háromszög szöge, szögfelezője és kerülete legyen egyenlő rendre az adott szöggel, ill. az , szakasszal. Rajzoljuk meg a háromszög oldalegyeneseinek azt a érintő körét (1. ábra), amely a oldalt kívülről érinti, és legyen ennek középpontja , érintési pontja az , , oldalon rendre , , (közülük a szakaszon, és az oldalak -n, -n túli meghosszabbításán). 1. ábra Ekkor az egyenesen van, a -ből, -ből, majd -ból húzott érintőszakaszok egyenlők: , , , és így . Ezek alapján a szerkesztés a következő: az szög száraira felmérjük az szakaszt, a és -ben a szárakra emelt merőlegesek metszéspontja körül sugárral megszerkesztjük -t, az -félegyenesre felmérjük -et és a nyert -ből -hoz húzott érintővel a száraiból kimetsszük , -t. A kapott háromszög megfelel a követelményeknek, mert , felezi e szöget és -ben lép ki a oldalon, és . A megoldások száma 2, 1, 0 aszerint, hogy a -hoz képest külső, ill. kerületi, ill. belső pont (vagy ), és így az -ből 2. 1, ill. 0 (az -t és -t szétválasztó) érintőt lehet húzni. Ha 2 megoldás adódik, ezek -ra tükrösek, ha pedig 1 adódik, akkor a háromszög egyenlő szárú.
Opálény Mihály (Budapest, Piarista g. II. o. t.) | Megjegyzés. Trigonometriai ismeretekre támaszkodva a megoldhatóság feltételét így is írhatjuk: | |
Kender Etelka (Tata, Eötvös J. g. II. o. t.) | II. megoldás: Legyen az csúcs tükörképe a háromszög -nél, -nél levő külső szögének felezőjére , ill. (2. ábra). 2. ábra Így az és háromszögek egyenlő szárúak, -nál levő szögük a külső szög tétele szerint fele az , ill. A szögnek, ugyanis , a oldal meghosszabbításaira esnek, tehát Továbbá | |
A használt tükrös tengelyek metszéspontját -val jelölve , tehát az háromszög körülírt körének középpontja. Másrészt szerkesztésénél fogva az háromszög oldalait érintő körök közül a oldalt kívülről érintő körnek középpontja, tehát felezi a szöget, ezért . Ezek alapján az egyenlő szárú háromszög a alapból és a rajta fekvő (hegyes) szögből megszerkeszthető és folytatólag megrajzolhatjuk -et. Másrészt -re -től -et felmérve az szakaszban megkapjuk -t, és az körül sugárral írt körrel -ből kimetszhetjük -t. Ezután az félegyenessel -ből kimetsszük -t, végül és felező merőlegesével -ből kimetsszük -t, -t. A megoldhatóság feltétele, hogy nagyobb legyen -nak -től való távolságánál.
Fajszi Csaba (Budapest, Rákóczi F. g. II. o. t.) | Megjegyzés. Ha , -t -nak , ill. körül meghosszabbításaira való ráforgatásával állítottuk elő, -et pedig az háromszög körülírt körének tekintjük, akkor a következő meggondolással láthatjuk be, hogy felezi a szöget. Húzzuk meg -nek -beli érintőjét. Ekkor a kerületi szögek tétele szerint , tehát | |
Kerényi Ilona (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. II. o. t.) | III. megoldás: Legyen vetülete az , egyenesre , , és forgassuk el az derékszögű háromszöget körül úgy, hogy csúcsa -ba essék, legyen új helyzete a félegyenesen (3. ábra). 3. ábra Ekkor az háromszög hasonló -hez (körüljárásuk ellentétes irányú), mert szögük közös, , ill. -nél levő szögük egyenlő. Így -ből ismerjük -nél levő szögét, magasságát (megkaphatjuk egy az derékszögű háromszöggel egybevágó háromszögből, melyben az átfogó és egyik hegyes szög ), végül a kerületét. Ugyanis
ahol a fenti derékszögű háromszög másik befogója. ( helyett áll, ha , de a végeredmény ugyanaz.) Ennélfogva az háromszög megszerkeszthető. Ha ugyanis -t és körül meghosszabbításaiba forgatjuk és új helyzetei , , akkor és , tehát mértani helye egyrészt a látószögkörív, másrészt az -től távolságban haladó párhuzamos. (Az ábra hasonlóságokat mutat a 2. ábrához, ezért mellőzzük.) -ből az háromszög körüli ,,visszaforgatásával'' kaphatjuk és -t ( a félegyenesen, -n túl) és kimetszi -ből -t.
Simonovits Miklós (Budapest, Radnóti M. g. II. o. t.) |
|
|