A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Vegyünk fel egy derékszöget, rajzoljuk meg a szárait érintő, 50 mm sugarú kört, ennek azt az érintőjét, amely a szárakhoz szöggel hajlik és amelynek a kör ugyanazon oldalán van, mint a derékszög csúcsa. Körünk a létrejött derékszögű egyenlő szárú háromszögnek beírt köre, kerülete mm. A háromszög oldalait mm pontossággal , és mm-nek találjuk, így kerülete mm, nem éri el -t. ( indexében ‐ és később a szögekében is ‐ a próbálkozás sorszámára utalunk.) Tartsuk állandónak a derékszöget és a kört, és próbálkozzunk más érintőkkel. Ezek helyzetét az előálló derékszögű háromszög nagyobb hegyes szögével adjuk meg. Legyen , így a kerület: mm, nagyobb -nál. Fogadjuk el bizonyítás nélkül hogy növelésével a fentihez hasonlóan szerkesztett derékszögű háromszög kerülete egyre nagyobbnak adódik. Ez valószínű, ugyanis így csak a kisebb befogó válik kisebbé, és ez is mindig nagyobb marad a kör átmérőjénél, a nagyobb befogó viszont akármilyen naggyá lehet, az átfogó pedig még ennél is nagyobb. Eszerint -ról -ra áttérve már túlmentünk a kívánt tulajdonságú a szögön. ‐ hiánya -hoz képest mm, többlete pedig mm, kisebb a hiánynál. Ez arra mutat, hogy -t -hoz közelebb keressük. -kal mm, hiánya -hoz képest mm. és alapján úgy látszik, hogy , vagy lesz a keresett szög. -kal mm, -kal pedig mm, ezek közrefogják -t, a eltérés mm, a eltérés pedig mm. Ezek szerint a kívánt tulajdonságú derékszögű háromszög hegyes szögei és .
II. Az előírt tulajdonságú egyenlő szárú háromszöget keresve tartsuk ismét állandónak az alap egyenesét, és a beírt kört. Így a háromszögek tengelye is állandó, és elég a szár és az alap fele hosszát mérnünk, ennek -val kell egyenlőnek lennie. A szár irányát az alappal bezárt szögével adjuk meg, a megvizsgált háromszögek ezen szögét és félkerületét rendre -vel jelöljük. Induljunk ki a szabályos háromszögből, tehát legyen , így mm, kisebb -nál. Hallottuk, hogy az ugyanakkora kerületű háromszögekbe írt körök közül a szabályos háromszögbe írt kör sugara a legnagyobb; valószínű ebből, hogy fordítva ugyanazon kör köré írt háromszögek közül a szabályos háromszög kerülete a legkisebb. Eszerint növelésével és csökkentésével egyaránt várható a háromszög kerületének növekedése, mert a nagyon ,,magas'' és nagyon ,,lapos'' háromszögek kerülete egyaránt nagyobb a szabályos háromszögénél. Mindkét irányban csak egy-egy megoldás várható. esetére előbbi vizsgálatunkból mm, ez valóban nagyobb -nél, de még kisebb -nál. mellett mm, ez már kissé sok, mellett viszont mm hiányt mutat, és a mm hiány nagyobb az mm többletnél. Így -kal megfelelő háromszöget kaptunk, szögei , , . Másrészt -kal mm, ami kevés, a mm hiány mm-re, közel harmadára csökkent, ezért -t az előbbi -nál kevesebbel növeljük. -kal mm, kissé sok, de már -kal kevés. A -tól való eltérés -nál kisebb, így a második megfelelő háromszög szögei , , .
Palánkai Gellért (Szeged, Radnóti M. g. I. o. t.) | Megjegyzések. 1. Kevesebb méréssel érünk célt az I. részben, ha figyelembe vesszük, hogy a háromszög kerülete a csúcsokból a körhöz húzott , , érintő szakaszokkal is kifejezhető, és így a követelmény ahol és a hegyes szögek, pedig a derékszög csúcsából húzott érintőszakasz hossza. Innen esetünkben mm, vagyis csak az átfogó hosszát kell mérnünk. A megoldásként elfogadott mellett -öt találtunk. 2. Ismeretes, hogy a háromszög területét a kerületnek és a beírt kör sugarának fél-szorzata is megadja, és hogy a körre nézve is . Eszerint mindegyik megoldásunkban a háromszög és a beírt kör területeinek aránya is 2-vel egyenlő. Valóban, körünk kétszeres területe közelítőleg , kapott derékszögű háromszögünk területe a befogókból . A talált egyenlő szárú háromszögeink területe pedig, ‐ miután a magasságot , ill. mm-nek mértük: | |
3. Számos dolgozat ‐ bár arról a feladatban szó sem volt ‐ szerkesztést kívánt bevinni a megoldásba és ezért az 564. gyakorlatban adott módon szerkesztett egy a kör kerületével közelítőleg egyenlő szakaszt. Erre nem volt szükség; nem a kör kerületét kellett mérni, ennek eredményében semmi új nem várható, hanem a más-más szögek esetében adódó háromszögek kerületét mint a szögek függvényét. Már pedig ha szögmérőt használunk, eljárásunk nem tekinthető eukleidészi szerkesztésnek. 4. Trigonometriai ismeretek alapján a szögeket közelítőleg ki is lehet számítani.
|