A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Próbáljuk meg a gyököket alakban előállítani, ahol és racionális számok. Más szóval: keressünk olyan racionális , és , számpárt, amellyel | |
Az
azonosság alapján | | Feltevésünk szerint , hatványai is racionálisak, így a jobb oldalt irracionális és racionális részre szétválasztva | | Így olyan , számpárt keresünk, amelyre áll
Innen látható, hogy , csak pozitívok lehetnek, mert a zárójelbeli háromtagúak mindenképpen pozitívok. Ha , -ra van egész megoldás, akkor (2) szerint páratlan, mert osztója a páratlan 409 számnak. Páratlan (2) háromtagúja is; és mivel első tagja páratlan, második tagja páros, azért harmadik tagjának, -nek is párosnak kell lennie, így páros. Viszont (3) szerint nem lehet osztható 4-gyel, mert 1082 sem osztható 4-gyel. Hasonlóan sem , sem nem osztható sem 3-mal, sem 5-tel, sem 7-tel. Így a ,,kicsi'' egész számok közül csak a , párral próbálkozhatunk. Ez (2) és (3) mindegyikét kielégíti, tehát Fordítva, mivel a páratlan kitevőjű gyökvonás (a valós számok körében) egyértelmű, azért az egyetlen olyan szám, melynek 5-ik hatványa a jobb oldali szám, tehát A második tag hasonló meghatározása csak abban tér el a fentitől, hogy a (3)-nak megfelelő egyenlet jobb oldalán ‐ 1082 áll. Eszerint itt , és helyére lép: Ezek után a bizonyítandó állítás helyessége nyilvánvaló. Megjegyzés. , helyén más egész számmal azért sem próbálkozhatunk, mert (a táblázat szerint) 409 és 541 mindegyike törzsszám. II. megoldás: Vegyük észre, hogy az adott különbség két tagjának szorzata | | Eszerint ha a bizonyítandó állítás helyes, akkor a két gyökkifejezést és -nal jelölve fennáll a következő két egyenlőség: Tekintsük (4)-et egyenletrendszernek és számítsuk ki valamennyi olyan , számpárt, amelyre (4) teljesül. Ha ezek között fellép az adott különbség két tagjából alakított pár, akkor (4) első egyenlete szerint az állítás helyes. Már most (4)-ből kiküszöbölésével
Az , értékpár nyilván nem azonos az állításbeli gyökökkel, hiszen negatív, az első gyök pedig pozitív. Az , értékpár viszont ‐ mint az I. megoldásban láttuk, megfelelő.
Nagy Géza (Debrecen, Ref. Kollégium gimnáziuma, II. o. t) | III. megoldás: ötödik hatványát kifejezhetjük alacsonyabb hatványaival és az szorzattal. Ugyanis az (1) azonosság szerint
és mivel | | azért | | (5) | Ha figyelembe vesszük, hogy esetünkben a II. megoldás szerint és | | evvel (5)-ből egyenletet kapunk -re. Azt 0-ra redukálva Ezt a érték kielégíti: , és ez az egyetlen pozitív gyöke. Valóban a bal oldal maradék nélkül osztható -gyel: | | Eszerint a szorzat második tényezője minden pozitív -re pozitív, az első tényező pedig minden 4-nél kisebb pozitív -re negatív, minden 4-nél nagyobb -re pozitív, tehát a szorzat sohasem 0. Már pedig a bizonyítandó egyenlőség bal oldala pozitív szám. Ugyanis az első gyök alatti szám nagyobb a második gyök alattinál, így ez áll 5-ik gyökeikre is. Valóban (5) szerint | | itt a szögletes zárójel értéke pozitív, hiszen , ezért és egyenlő jelűek. ‐ Így , az állítás helyes.
Haupert János (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. II. o. t.) |
|