Kezdőlap


Feladat:	610. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Haupert János , Nagy Géza
Füzet:	1960/november, 148 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/január: 610. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Próbáljuk meg a gyököket $t \sqrt[]{7} + u$ alakban előállítani, ahol $t$ és $u$ racionális számok. Más szóval: keressünk olyan racionális $t$ , $u$ és $v$ , $w$ számpárt, amellyel

\begin{matrix} {(t \sqrt[]{7} + u)}^{5} = 409 \sqrt[]{7} + 1082, {(v \sqrt[]{7} + w)}^{5} = 409 \sqrt[]{7} - 1082. \end{matrix}

\begin{matrix} {a + b)}^{5} = {(a + b)}^{2} {(a + b)}^{3} = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}) = & (1) \\ = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5} \end{matrix}

azonosság alapján

\begin{matrix} {(t \sqrt[]{7} + u)}^{5} = 49 t^{5} \sqrt[]{7} + 245 t^{4} u + 70 t^{3} u^{2} \sqrt[]{7} + 70 t^{2} u^{3} + 5 t u^{4} \sqrt[]{7} + u^{5} . \end{matrix}

Feltevésünk szerint

t

u

hatványai is racionálisak, így a jobb oldalt irracionális és racionális részre szétválasztva

\begin{matrix} {(t \sqrt[]{7} + u)}^{5} = (49 t^{5} + 70 t^{3} u^{2} + 5 t u^{4}) \sqrt[]{7} + (245 t^{4} u + 70 t^{2} u^{3} + u^{5}) . \end{matrix}

Így olyan

t

u

számpárt keresünk, amelyre áll

\begin{matrix} (49 t^{4} + 70 t^{2} u^{2} + 5 u^{4}) t = 409 és & (2) \\ (245 t^{4} + 70 t^{2} u^{2} + u^{4}) u = 1082. & (3) \end{matrix}

Innen látható, hogy

t

u

csak pozitívok lehetnek, mert a zárójelbeli háromtagúak mindenképpen pozitívok.
Ha

t

u

-ra van egész megoldás, akkor (2) szerint

t

páratlan, mert osztója a páratlan 409 számnak. Páratlan (2) háromtagúja is; és mivel első tagja páratlan, második tagja páros, azért harmadik tagjának,

5 u^{4}

-nek is párosnak kell lennie, így

u

páros. Viszont (3) szerint

u

nem lehet osztható 4-gyel, mert 1082 sem osztható 4-gyel. Hasonlóan sem

t

, sem

u

nem osztható sem 3-mal, sem 5-tel, sem 7-tel. Így a ,,kicsi'' egész számok közül csak a

t = 1

u = 2

párral próbálkozhatunk.
Ez (2) és (3) mindegyikét kielégíti, tehát

\begin{matrix} {(\sqrt[]{7} + 2)}^{5} = 409 \sqrt[]{7} + 1082. \end{matrix}

Fordítva, mivel a páratlan kitevőjű gyökvonás (a valós számok körében) egyértelmű, azért

\sqrt[]{7} + 2

az egyetlen olyan szám, melynek 5-ik hatványa a jobb oldali szám, tehát

\begin{matrix} \sqrt[^{5}]{409 \sqrt[]{7} + 1082} = \sqrt[]{7} + 2. \end{matrix}

A második tag hasonló meghatározása csak abban tér el a fentitől, hogy a (3)-nak megfelelő egyenlet jobb oldalán ‐ 1082 áll. Eszerint itt

v = t = 1

, és

u = 2

helyére

w = - 2

lép:

\begin{matrix} \sqrt[^{5}]{409 \sqrt[]{7} - 1082} = \sqrt[]{7} - 2. \end{matrix}

Ezek után a bizonyítandó állítás helyessége nyilvánvaló.

Megjegyzés.

t

u

helyén más egész számmal azért sem próbálkozhatunk, mert (a táblázat szerint) 409 és 541 mindegyike törzsszám.

II. megoldás: Vegyük észre, hogy az adott különbség két tagjának szorzata

\begin{matrix} \sqrt[^{5}]{(409 \sqrt[]{7} + 1082) (409 \sqrt[]{7} - 1082)} = \sqrt[^{5}]{7 \cdot 409^{2} - 1082^{2}} = \sqrt[^{5}]{243} = 3. \end{matrix}

Eszerint ha a bizonyítandó állítás helyes, akkor a két gyökkifejezést

x

és

y

-nal jelölve fennáll a következő két egyenlőség:

\begin{matrix} x - y = 4, x y = 3. \end{matrix}

(4)

Tekintsük (4)-et egyenletrendszernek és számítsuk ki valamennyi olyan

x

y

számpárt, amelyre (4) teljesül. Ha ezek között fellép az adott különbség két tagjából alakított pár, akkor (4) első egyenlete szerint az állítás helyes. Már most (4)-ből

x

kiküszöbölésével

\begin{matrix} y^{2} + 4 y - 3 = 0, & innen & y_{1} = - 2 - \sqrt[]{7}, & y_{2} = - 2 + \sqrt[]{7}, \\ és így \\ x_{1} = 2 - \sqrt[]{7}, & x_{2} = 2 + \sqrt[]{7} . \end{matrix}

x_{1}

y_{1}

értékpár nyilván nem azonos az állításbeli gyökökkel, hiszen

x_{1}

negatív, az első gyök pedig pozitív. Az

x_{2}

y_{2}

értékpár viszont ‐ mint az I. megoldásban láttuk, megfelelő.

Nagy Géza (Debrecen, Ref. Kollégium gimnáziuma, II. o. t)

III. megoldás:

x - y = d

ötödik hatványát kifejezhetjük

d

alacsonyabb hatványaival és az

x y

szorzattal. Ugyanis az (1) azonosság szerint

\begin{matrix} d^{5} = {(x - y)}^{5} = x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} - y^{5} = \\ = (x^{5} - y^{5}) - 5 x y (x^{3} - y^{3}) + 10 x^{2} y^{2} (x - y), \end{matrix}

és mivel

\begin{matrix} x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = (x - y) [{(x - y)}^{2} + 3 x y], \end{matrix}

azért

\begin{matrix} {(x - y)}^{5} = (x^{5} - y^{5}) - 5 x y {(x - y)}^{3} - 5 x^{2} y^{2} (x - y) . \end{matrix}

(5)

Ha figyelembe vesszük, hogy esetünkben a II. megoldás szerint

x y = 3

és

\begin{matrix} x^{5} - y^{5} = (409 \sqrt[]{7} + 1082) - (409 \sqrt[]{7} - 1082) = 2164, \end{matrix}

evvel (5)-ből egyenletet kapunk

x - y = d

-re. Azt 0-ra redukálva

\begin{matrix} d^{5} + 15 d^{3} + 45 d - 2164 = 0. \end{matrix}

Ezt a

d = 4

érték kielégíti:

1024 + 960 + 180 - 2164 = 0

, és ez az egyetlen pozitív gyöke. Valóban a bal oldal maradék nélkül osztható

(d - 4)

-gyel:

\begin{matrix} d^{5} + 15 d^{3} + 45 d - 2164 = (d - 4) (d^{4} + 4 d^{3} + 31 d^{2} + 124 d + 541) . \end{matrix}

Eszerint a szorzat második tényezője minden pozitív

d

-re pozitív, az első tényező pedig minden 4-nél kisebb pozitív

d

-re negatív, minden 4-nél nagyobb

d

-re pozitív, tehát a szorzat sohasem 0.
Már pedig a bizonyítandó egyenlőség bal oldala pozitív szám. Ugyanis az első gyök alatti szám nagyobb a második gyök alattinál, így ez áll 5-ik gyökeikre is. Valóban (5) szerint

\begin{matrix} x^{5} - y^{5} = (x - y) [{(x - y)}^{4} + 5 x y {(x - y)}^{2} + 5 x^{2} y^{2}], \end{matrix}

itt a szögletes zárójel értéke pozitív, hiszen

x y = 3 > 0

, ezért

x^{5} - y^{5}

és

x - y

egyenlő jelűek. ‐ Így

d = 4

, az állítás helyes.

Haupert János (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. II. o. t.)