|
Feladat: |
608. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ámon Magdolna , Belley Ágnes , Benczúr A. , Felszeghy T. , Gálfi l. , Gáspár R. , Kéry G. , Kiss G. , Kóta J. , Nováky B. , Soós I. , Tasnády Mária , Tekulics Péter , Vesztergombi Gy. , Zalán P. |
Füzet: |
1960/november,
142 - 145. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Elsőfokú diofantikus egyenletek, Oszthatósági feladatok, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/január: 608. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Olyan , , , számjegyeket keresünk, vagyis 0 és 9 közti egész számokat, e két határt is megengedve, amelyekre
A két oldal felcserélhetőségére tekintettel előírhatjuk, hogy legyen, továbbá hogy esetén legyen. Így elébe vághatunk annak, hogy a megoldásokat kétszer kapjuk meg. Beszorzással, rendezéssel és osztással | | (1) | Vegyük észre, hogy a bal oldali első két együttható egy-egy 11-gyel osztható szám szomszédja. Ennek alapján (1) így alakul: | | (2) | vagyis a jobb oldal osztható 11-gyel. A jobb oldalon nem lehet negatív, másrészt értéke legfeljebb 9 lehet: Hasonlóan Ezekből összeadással (2) jobb oldalára a következő egyenlőtlenség adódik: mivel pedig ez osztható 11-gyel, azért értéke csak 0, vagy 11 lehet. Eszerint ‐ mindjárt átrendezve ‐
A azonosság alapján (2) úgy alakítható, hogy mindegyik tagjában szerepel vagy a , vagy a különbség: | |
Eszerint az I. esetben, 11-gyel mindjárt egyszerűsítve | | ami csak , azaz -val állhat, mert a egyenlet, jelöléseink értelmét tekintve, nem teljesülhet. Így egyszersmind , azaz ; arra a semmitmondó eredményre jutottunk, hogy követelményünket minden alakú szám kielégíti. A II. esetben hasonlóan járva el azt nyerjük, hogy vagy mivel a feltevés folytán , azért Eszerint a jobb oldal értéke legalább 10, azaz pozitív, tehát folytán a bal oldal mindkét tényezője pozitív. Így értéke legfeljebb 8, a jobb oldal értéke a számok valamelyike, de csak olyan jöhet szóba, amely és céljára két 10-nél kisebb pozitív szám szorzatára bontható. Ezt 43, 65, 76 és 87 nem teljesítik. Nem felel meg sem, mert így , és a , vagy 9 követelésből , tehát nem lehet számjegy. Hasonlóan (4) jobb oldalát -nak véve , így csak felel meg, folytatólag azonban adódik. Ugyanígy negatív -t ad és kisebb tényezőjének -val való azonosítása is, így csak a következő két lehetőségünk marad: 1) ha , (4) jobb oldala , és itt és -ból , , végül , ezzel a példaként bemutatott 1958 számra jutottunk; 2) ha , (4) jobb oldala , és itt , -ből , , . Így | | de az előlálló és így a szokáshoz képest felesleges 0 miatt ez is csak elfajult megoldásnak tekinthető.
Tekulics Péter (Szeged, Radnóti M. g. I. o. t.) | II. megoldás: Az (1) összefüggés , , jelölésekkel így írható Tekintsük itt , -t ismeretlennek, számára pedig vegyük sorra figyelembe a értéket. értéke csak (3)-nak eleget tevő szám lehet. Ezt a megszorítást egyelőre figyelmen kívül hagyva minden mellett megoldása az egyenletnek , . Ha , egy másik egész megoldás, akkor | | Innen átrendezéssel A bal oldalt alakban írva nyilván csak úgy lehet 11-gyel osztható, ha osztható 11-gyel: , vagyis . Ekkor (6)-ból adódik. A (3) egyenlőtlenség -re csak -ra, továbbá esetén a érték mellett teljesül. Ha , akkor -ből és -ből . Így . Ezt -vel egybevetve, ha , akkor a összefüggésre jutunk, amit számjegyek nem elégítenek ki. Ha pedig , akkor a , feltételhez, tehát a nyilvánvalóan helyes alakú megoldásokhoz jutunk. Ha , akkor , . Az előzőkhöz hasonlóan és az egybevetésből rendezés után Itt a bal oldal nem lehet negatív, tehát csak -gyel várhatunk megoldást. Ezeket táblázatban adjuk meg:
Eszerint abcd¯=0935. Megjegyzések. 1. A feladat kérdésére (,,Van-e...'') elegendő egyetlen példa közlésével ezt a választ adni: ,,van, és pedig..., mert...'' Ennek ellenére ‐ igen helyesen ‐ a legtöbb dolgozat hosszabb-rövidebb indokolás után ad választ. Adódott viszont olyan dolgozat, amely megindokolja, hogy ,,nincs az adotthoz hasonló tulajdonságú abcd¯ szám.'' 2. Az (5)-höz hasonló, ax+by=c alakú egyenletek egész megoldásaira vonatkozóan lásd lapunk régebbi cikkét: Surányi János: Elsőfokú egyenletek egész megoldása (Diofantoszi egyenletek), K. M. L. VII. kötet (1953) 65‐81. o. Tovább ,,egész szám'' helyett csak ,,szám''-ot mondunk. |
|