A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Előzetes megjegyzés: Csak konvex érintőnégyszögekkel foglalkozunk. I. megoldás: Minden (konvex) deltoid (és természetesen speciális esetei, rombusz és négyzet is) érintőnégyszög, és átlói merőlegesek egymásra. Ennélfogva, ha az négyszög , , , oldalainak hossza rendre , , , , akkor a követelmények teljesüléséhez elegendő feltétel a következő: , , vagyis hogy az oldalak közül 2‐2 szomszédos pár egyenlő legyen. Megmutatjuk, hogy e feltétel szükséges is, ugyanis az ezzel ellentétes állítás ellentmondásra vezet. Ha egy érintőnégyszög egy pár szomszédos oldala egyenlő, pl. , akkor az ismert szükséges és elegendő feltételből következik, vagyis hogy a további két oldal is egyenlő. Ezért fenti állításunk ellentéte az, hogy van olyan érintőnégyszög, amelyben bármelyik két szomszédos oldal különböző és az átlók merőlegesek. Válasszuk a betűzést úgy, hogy és legyen. Ekkor -nek az átlóra való tükörképe az szakaszra esik, ahol az átlók metszéspontja, mert . Hasonlóan -nak -re való tükörképe -nek belső pontja, így , és ezért . Mérjük rá az szakaszt -től -re és legyen végpontja . Így az és háromszögek két-két oldala egyenlő, ezek közbezárt szöge az előbbiben kisebb, ezért a vele szemben levő oldal is kisebb: . Másrészt , tehát a háromszögben vagyis , amiből . Ez pedig valóban ellentétben áll (1)-gyel. Ezzel a bizonyítást befejeztük. Valamennyi dolgozat számítás útján adta meg a keresett feltételt. Ilyen megoldás a következő. II. megoldás: Legyenek a fenti jelölésekkel az átlók metszetei , , , .
Az átlók merőlegessége folytán | | és ebből Másrészt (1)-ből (2) és (3) teljesülnek egyrészt, ha mindkét oldaluk 0, vagyis és . Másrészt, ha (3) egyik oldala sem 0, akkor a (2) átalakításával adódó egyenlőségnek (3)-mal való osztásából ez pedig (3)-mal összeadva , továbbá -re vezet. Mindkét lehetőségben a négyszög 2‐2 szomszédos oldala egyenlő. Ez velejáró következménye ‐ szükséges feltétele annak, hogy az érintőnégyszög átlói merőlegesek legyenek. Ekkor a négyszög deltoid. E feltétel elegendő is, mert pl. és folytán , és így a deltoid érintőnégyszög, másrészt ismeretes, hogy átlói merőlegesek.
Dringó László (Budapest, Fazekas M. g. II. o. t.) | Megjegyzések. 1. A (2) egyenlőségből így is haladhatunk tovább. Átrendezéssel Ezt (1) négyzetéből levonva | | vagyis És ezt (5)-ből levonva, átalakítással és mivel a betűzés megváltoztatásával mindig elérhetjük, hogy és , azért ami azonos (4)-gyel. Így (1), (4) és (6) szerint merőleges átlópárral bíró érintőnégyszögben a szemben fekvő oldalpárok összege is, különbsége is és szorzata is egyenlő. 2. Akik ismerik a hiperbolának ezt a meghatározását: azon pontok mértani helye, melyekre nézve a két adott ponttól (a fókuszoktól) mért távolságok különbsége adott állandó, és pedig kisebb az adott pontok távolságánál, ‐ és szemléletes képük is van a hiperboláról, hogy ti. a fókuszokat összekötő egyenesre (a hiperbola egyik tengelyére), merőleges egyenesnek legfeljebb két közös pontjuk van a hiperbolával, éspedig ha kettő van, azok a tengelyre tükrös párt alkotnak, ‐ azok a fenti deltoidfeltétel szükséges voltát szemlélet alapján a következőkből is beláthatják. Ha érintőnégyszög, akkor (1)-ből , tehát és annak a hiperbolának pontjai, melynek fókuszai és , és állandó különbsége . Ha pedig , akkor és az -re tükrös pontpár. ‐ Ez a ,,belátás'' azonban nem bizonyítás !
|
|