Feladat:	606. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nováky Béla ,  Tószegi Sándor
Füzet:	1960/november, 140. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Párhuzamos szelők tétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/december: 606. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Meghatározhatjuk $KL$-et és $KM$-et, felhasználva egyrészt az $ACB$ szög szárait metsző $KL$ és $AB$ párhuzamosok és a $BC$ szár szeletei, másrészt az $ABC$ szög szárait metsző $KM$ és $C{C}_1$ párhuzamosok és ugyancsak a $BC$ szár szeletei közt fennálló arányosságok alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{KL}{AB}=\frac{CK}{BC}\mathrm{,}\frac{KM}{C{C}_1}=\frac{BK}{BC}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle KL=\frac{AB\cdot CK}{BC}\mathrm{,}KM=\frac{C{C}_1\cdot BK}{BC}\mathrm{.}}\end{array}$ Így a feladat állítása következik abból, ha megmutatjuk a számlálók egyenlőségét. Ehhez felhasználjuk, hogy a $B\text{'}C\text{'}D$ háromszög szabályos, mert $\begin{array}{c}{\displaystyle B\text{'}D=C\text{'}D\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">és</span>}B\text{'}DC\text{'}\sphericalangle =BDC\sphericalangle ={60}^{\circ };}\end{array}$ továbbá hasonló helyzetű a $BCD$ háromszöggel, tehát $B\text{'}C\text{'}\parallel BC$. A szerkesztés adatait felhasználva $\begin{array}{c}{\displaystyle D\text{'}C\text{'}=B\text{'}C\text{'}-B\text{'}D\text{'}=AB+C{C}_1-AB=C{C}_1\mathrm{.}}\end{array}$ A $B\text{'}$, $D\text{'}$, $C\text{'}$ pontok a $B$, $K$, $C$ pontoknak a $D$ pontból egy párhuzamos egyenesre történő vetítésével keletkeznek, így a köztük levő szakaszok között a következő arányosságok állnak fenn: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{BK}{KC}=\frac{B\text{'}D\text{'}}{D\text{'}C\text{'}}=\frac{AB}{C{C}_1}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">és innen</span>}BK\cdot C{C}_1=AB\cdot KC\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből, mint láttuk, következik a $KL$ és $KM$ szakaszok egyenlősége.   Tószegi Sándor (Makó, József A. g. II. o. t.)   Megjegyzés: A $BCD$ háromszöget $BC$-nek mindkét partján szerkeszthetjük: a két háromszög egymásnak tükörképe. Mivel azonban $K$-t éppen $BC$-n szerkesztjük meg, és a további lépések csak $K$-ra támaszkodnak, azért bizonyításunk $D$ mindkét helyzetére érvényes.   Nováky Béla (Budapest, I. István g. II. o. t.)