Kezdőlap


Feladat:	605. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Rajki Péter , Rédei György
Füzet:	1960/november, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Forgatva nyújtás, Párhuzamos szelők tételének megfordítása, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/december: 605. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a gyűrűt határoló $k_{1}$ , $k_{2}$ körök közös középpontja $O$ , sugaruk hossza $r_{1}$ , $r_{2}$ , és az adott pont $P$ ( $O P$ az $r_{1}$ és $r_{2}$ közti távolság). Az $m : n$ arányt úgy tekintjük adottnak, hogy adva vannak ‐ pl. egy egyenesen a $C$ kezdőpontból indulóan ‐ a $B C$ és $C D$ ) szakaszok, amelyekre $B C : C D = m : n$ .
Tekintsük a feladatot megoldottnak és legyenek a keresett húr végpontjai $A_{1}$ , $A_{2}$ , amelyekre $A_{1} P : P A_{2} = m : n$ (ill. az I. osztályosok speciális esetében $A_{1} P = P A_{2}$ , ilyenkor $m : n = 1$ ). Húzzunk $A_{2}$ -n át párhuzamost $O A_{1}$ -gyel és messe ezt az $O P$ egyenes $Q$ -ban.

Így a

P A_{1} O

és

P A_{2} Q

háromszögek hasonlók (a speciális esetben egybevágók), megfelelő oldalaik az adott arányban állnak, ezért

P Q = P O \cdot n / m

és

Q A_{2} = O A_{1} \cdot n / m

(ill.

P Q = O P

és

A_{2} Q = r_{1}

). Ezek alapján a szerkesztés a következő: megszerkesztjük

P Q

-t és

Q A_{2}

-t (pl. a

C

-n átmenő

c

egyenesre

C

-től felmérjük

O P

-t,

O A_{1}

-et, a végpontjaikat

B

-vel összekötő egyenesekkel

D

-n átmenő párhuzamosokkal

c

-ből kimetsszük

P Q

Q A_{2}

egyik végpontját, másik végpontjuk

C

P Q

-t felmérjük

O P

-nek

P

-n túli meghosszabbítására, a kapott

Q

körül

Q A_{2}

sugárral írt

k_{3}

körrel a

k_{2}

-ből kimetsszük

A_{2}

-t, végül az

O

-ból kiinduló,

Q A_{2}

-vel párhuzamos és ellentétes irányú félegyenessel

k_{1}

-ből kimetsszük

A_{1}

-et.

Q

szerkesztése mindig egyértelműen végrehajtható,

k_{3}

és

k_{2}

kölcsönös helyzete szerint 2, 1, vagy 0 megoldás van. Ha 2 megoldás van, akkor ezek az

O P

tengelyre tükrösek. Ha pedig

k_{3}

és

k_{2}

érintkeznek, a megoldások száma 1. Lehetséges, hogy az

A_{1} A_{2}

húr egy szakasza a kisebb kör belsejébe esik.
Minthogy a feladat nem írja elő, hogy az

A_{1} A_{2}

húr melyik részének arányszáma legyen

m

, ill.

n

, azért a szerkesztést

m

és

n

szerepének felcserélésével is el kell végeznünk. A második szerkesztés megoldásainak száma független az elsőétől. (A megcserélés a speciális esetben természetesen elmarad.)
A szerkesztésben

k_{1}

és

k_{2}

szerepét természetesen felcserélhetjük.

Rajki Péter (Pécs, Nagy Lajos g. II. o. t.)

Megjegyzések: 1. Rövidebben azt is mondhatjuk, hogy

k_{3}

-at a

k_{1}

-ből

n : m

arányú nyújtással és egyidejű

P

körüli

180^{\circ}

-os elforgatással kaptuk. (A speciális esetben pedig

k_{1}

-nek

P

-re való tükrözésével; ekkor lényegében az

O A_{1} A_{2}

háromszöget szerkesztjük meg

r_{1}

r_{2}

oldalaiból és a közös

O

végpontjukból kiinduló

O P

súlyvonalából.)

Rédei György (Kecskemét, Piarista g. II. o. t.)

2. Nyújtás (zsugorítás) és forgatás kombinálásával a speciális esetben a következő két észrevétel alapján is célhoz érünk: a) Ha

P

-t,

A_{1}

-et és

A_{2}

-t

O

körül valamilyen

φ

szöggel elforgatjuk, új

P'

A'_{1}

A'_{2}

, helyzetükben a

P'

pontra adnak a többi követelményeknek megfelelő megoldást. b) Az

A_{1} P = P A_{2}

-ből folyó

A_{1} A_{2} = 2 A_{1} P

egyenlőséget úgy is értelmezhetjük, hogy

P

A_{2}

-ből az

A_{1}

középpontú, felére való zsugorítással keletkezett.

Képezzük most már egy a

k_{1}

-en tetszés szerint vett

A'_{1}

körüli félszeres zsugorítással

k_{2}

-ből

k'_{2}

-t és messük

k'_{2}

-t az

O

körüli

O P

sugarú körrel, legyen az egyik metszéspont

P'

. Ekkor az

A'_{1} P'

félegyenesnek az az

A'_{2}

pontja, amelyre

A'_{1} A'_{2} = 2 A'_{1} P'

, rajta van

k_{2}

-n, tehát az

A'_{1}

P'

A'_{2}

ponthármas

P'

helyzetétől eltekintve megfelel a követelményeknek. Ezért

A'_{1}

és

A'_{2}

-t

O

körül a

P' O P

szöggel

A_{1}

A_{2}

-be elforgatva megoldást kapunk.
Az általános esetben

1 : 2

arányú zsugorítás helyett

m : (m + n)

arányút használunk. (Ha a megoldás helyes voltát beláttuk, akkor

A'_{2}

megszerkesztése mellőzhető, mert

A_{2}

-t

P

és

A_{1}

-ből is megkapjuk.)