A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a gyűrűt határoló , körök közös középpontja , sugaruk hossza , , és az adott pont ( az és közti távolság). Az arányt úgy tekintjük adottnak, hogy adva vannak ‐ pl. egy egyenesen a kezdőpontból indulóan ‐ a és ) szakaszok, amelyekre . Tekintsük a feladatot megoldottnak és legyenek a keresett húr végpontjai , , amelyekre (ill. az I. osztályosok speciális esetében , ilyenkor ). Húzzunk -n át párhuzamost -gyel és messe ezt az egyenes -ban.
Így a és háromszögek hasonlók (a speciális esetben egybevágók), megfelelő oldalaik az adott arányban állnak, ezért és (ill. és ). Ezek alapján a szerkesztés a következő: megszerkesztjük -t és -t (pl. a -n átmenő egyenesre -től felmérjük -t, -et, a végpontjaikat -vel összekötő egyenesekkel -n átmenő párhuzamosokkal -ből kimetsszük , egyik végpontját, másik végpontjuk . -t felmérjük -nek -n túli meghosszabbítására, a kapott körül sugárral írt körrel a -ből kimetsszük -t, végül az -ból kiinduló, -vel párhuzamos és ellentétes irányú félegyenessel -ből kimetsszük -et. szerkesztése mindig egyértelműen végrehajtható, és kölcsönös helyzete szerint 2, 1, vagy 0 megoldás van. Ha 2 megoldás van, akkor ezek az tengelyre tükrösek. Ha pedig és érintkeznek, a megoldások száma 1. Lehetséges, hogy az húr egy szakasza a kisebb kör belsejébe esik. Minthogy a feladat nem írja elő, hogy az húr melyik részének arányszáma legyen , ill. , azért a szerkesztést és szerepének felcserélésével is el kell végeznünk. A második szerkesztés megoldásainak száma független az elsőétől. (A megcserélés a speciális esetben természetesen elmarad.) A szerkesztésben és szerepét természetesen felcserélhetjük.
Rajki Péter (Pécs, Nagy Lajos g. II. o. t.) | Megjegyzések: 1. Rövidebben azt is mondhatjuk, hogy -at a -ből arányú nyújtással és egyidejű körüli -os elforgatással kaptuk. (A speciális esetben pedig -nek -re való tükrözésével; ekkor lényegében az háromszöget szerkesztjük meg , oldalaiból és a közös végpontjukból kiinduló súlyvonalából.)
Rédei György (Kecskemét, Piarista g. II. o. t.) | 2. Nyújtás (zsugorítás) és forgatás kombinálásával a speciális esetben a következő két észrevétel alapján is célhoz érünk: a) Ha -t, -et és -t körül valamilyen szöggel elforgatjuk, új , , , helyzetükben a pontra adnak a többi követelményeknek megfelelő megoldást. b) Az -ből folyó egyenlőséget úgy is értelmezhetjük, hogy az -ből az középpontú, felére való zsugorítással keletkezett.
Képezzük most már egy a -en tetszés szerint vett körüli félszeres zsugorítással -ből -t és messük -t az körüli sugarú körrel, legyen az egyik metszéspont . Ekkor az félegyenesnek az az pontja, amelyre , rajta van -n, tehát az , , ponthármas helyzetétől eltekintve megfelel a követelményeknek. Ezért és -t körül a szöggel , -be elforgatva megoldást kapunk. Az általános esetben arányú zsugorítás helyett arányút használunk. (Ha a megoldás helyes voltát beláttuk, akkor megszerkesztése mellőzhető, mert -t és -ből is megkapjuk.)
|