A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Az állítás bizonyítására elég megmutatnunk, hogy a háromszög két szöge, éspedig a és -nél levők, egyenlők. Valóban a csúcsszögek egyenlősége, az és háromszögek szögeinek összege, valamint a feltevések alapján
A bebizonyított tétel szerint . Ennek alapján és -ből megszerkesztjük az derékszögű háromszöget, ennek átfogóján a körül sugárral írt körrel kimetsszük -t, végül az átmérő fölötti Thalész-kör és a egyenes második metszéspontjában megkapjuk -t.
Az háromszög megfelel a követelménynek, ugyanis derékszögű, és benne az egyenes felezi a szöget, mert | | akkor adódik az szakaszon, ha . Ez a szerkeszthetőség egyetlen feltétele.
Porpáczy Erzsébet (Jászberény, lg. I. o. t.) | Megjegyzés: Az háromszög megszerkesztése után -t a -ból az egyenesnek -re való tükörképével is kimetszhetjük. Ekkor , és az háromszög megfelelő voltának bizonyításához azt kell megmutatnunk, hogy teljesül a követelmény, ami éppen a feladat állítása. A szög akkor adódik hegyes szögnek, ha fele, a szög kisebb -nál, ennek feltétele, hogy legyen, mert így az derékszögű háromszögben -nál kisebb szög adódik, mint -nél.
Kopcsányi Zsuzsa (Budapest, Berzsenyi D. lg. II. o. t.) | II. megoldás: Megmutatjuk, hogy a háromszögben a szögfelező ( az egyenesen) egyben magasság is; ebből már következik a bizonyítandó állítás. Valóban, a és szögek egyenlők, mert mindkettő pótszöge a szögnek, így a felezésükkel kapott és szögek is egyenlők. Egyenlők továbbá a és szögek is, mert csúcsszögek. Így a és háromszögek harmadik szögei is egyenlők: derékszög, állításunknak megfelelően. Eszerint rajta van -n. Fordítva: a -ből az szögfelezőre bocsátott merőleges felezi a szöget, mert az egyenlő szárú háromszög szárszögének felezője azonos az ugyanazon csúcsból húzott magassággal. De közvetlenül is belátható: így ugyanis szerkesztésnél fogva -n van és felezi a ívet: , mert a és szögek egyenlők. Ezért az ezen íveken fekvő és kerületi szögek egyenlők. Ennek alapján az I. megoldásbeli szerkesztés helyességét így igazolhatjuk. a -nak érintője, ezért a szög (ahol most az és metszéspontja) egyenlő a íven fekvő ,,húr-érintő'' szöggel. Ez segédtételünk megfordítása szerint egyenlő az szöggel, az utóbbi pedig az ugyancsak az íven fekvő szöggel.
Kiss Tünde (Tamási, Béri Balogh Á. g. II. o. t.) | III. megoldás: Az állítást a szögfelező osztási arányáról ismert tételből kiindulva is bizonyíthatjuk. Eszerint Másrészt a felezés és a merőleges szerkesztés folytán a és derékszögű háromszögek hasonlók, ezért E két aránypár második arányai azonosak, ezért az első arányok is egyenlők: Ha pedig két egyenlő értékű arány utótagjai egyenlők, akkor az előtagok is egyenlők: .
Kóta József (Tatabánya, Árpád g. II. o. t.) |
|
|