Kezdőlap


Feladat:	602. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pácz Miklós
Füzet:	1960/október, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/december: 602. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$n$ -t szokás szerint természetes számnak tekintjük. Az adott kifejezés igy írható:

\begin{matrix} N = 5^{8 n} - 2^{4 n} \cdot 7^{2 n} = {(5^{8})}^{n} - {(2^{4} \cdot 7^{2})}^{n} . \end{matrix}

Egyenlő kitevőjű hatványok különbsége osztható az alapok különbségével, ezért

\begin{matrix} N = (5^{8} - 2^{4} \cdot 7^{2}) A, \end{matrix}

ahol

A

egész szám. Másrészt az ,,alapok'' egyszersmind négyzetek, ezért további felbontással

\begin{matrix} N / A = {(5^{4})}^{2} - {(2^{2} \cdot 7)}^{2} = 625^{2} - 28^{2} (625 - 28) (625 + 28) = \\ = 3 \cdot 199 \cdot 653 = 199 \cdot 1959, \end{matrix}

tehát

N = 199 \cdot 1959 A

, amiből az állítás igazsága nyilvánvaló.

Pácz Miklós (Szentgotthárd, Vörösmarty M. g. I. o. t.)