Feladat: 601. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Nováky Béla ,  Simonovits Miklós ,  Tasnády Mária 
Füzet: 1960/október, 74 - 75. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/december: 601. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az E szám létezésének kérdése azonos a 600. gyakorlat (1) egyenlete megoldhatóságának kérdésével a c=a esetre. Ámde az ottani (2) szerint ez esetben

x=E=0,haa≠-1,
továbbá E-ként bármely szám megfelel, ha a=c=-1. Ezek szerint E=0 olyan szám, amelyre minden a-val a*E=a*0=a, és így a=E=0-val is E*E=E. Valóban, az értelmezés szerint a*0=a+0+a⋅0=a és 0*0=0. ‐ Ez az a*E=0, azaz (1+a)E=0 egyenletből közvetlenül is belátható, mert az minden a-ra csak E=0-val állhat fenn.
A csillag-művelet értelmezése alapján egyrészt
a*b=a+b+ab=b+a+ba=b*a;
másrészt a második vizsgálandó egyenlőség két oldala külön-külön
(a*b)*c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c==a+b+c+ab+ac+bc+abc,a*(b*c)=a+(b*c)+a(b*c)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)==a+b+c+ab+ac+bc+abc,


ennélfogva a két oldal egyenlő. ‐ Ezek szerint a csillag művelet kommutatív és asszociatív.
 

Tasnády Mária (Budapest, Fazekas M. g. I. o. t.)

 

Megjegyzések. 1. Az értelmezésnek a 600. gyakorlat megjegyzésében adott alakjával is célhoz jutunk. Egyrészt
(a*b)+1=(a+1)(b+1)=(b+1)(a+1)=(b*a)+1,
és így
a*b=b*a,
másrészt
[a*(b*c)]+1=(a+1)[(b*c)+1]=(a+1)[(b+1)(c+1)]==[(a+1)(b+1)](c+1)=[(a*b)+1](c+1)=(a*b)*c,


tehát a kommutatív és az asszociatív tulajdonság fennáll.
 

Simonovits Miklós (Budapest, Radnóti M. g. II. o. t.)

 

2. Az E=0 számnak a csillag-műveletben látott tulajdonsága emlékeztet az 1 számnak a szorzásban mutatkozó tulajdonságára. Továbbmenve (a')'=a és a*a'=0=E alapján a vesszős képezés a számok reciprokának képezésére emlékeztet. A -1 számnak a csillag-műveletkeli szerepe pedig hasonló a 0-nak a szorzásbeli szerepéhez, továbbá abban is megfelelnek egymásnak, hogy -1-nek nincs vesszőse, 0-nak pedig nincs reciproka.
 

Nováky Béla (Budapest, I. István g. II. o. t.)