Feladat: 600. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kiss Gábor ,  Simonovits Miklós 
Füzet: 1960/október, 72 - 74. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/december: 600. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az értelmezés szerint az a*b szám (bármely a, b számpárhoz) egyértelműen kiszámítható.
Az a*x=c egyenlet a szokásos műveletek használatával így alakul

a+x+ax=c,azaz(a+1)x=c-a.(1)
Innen
x=c-aa+1,(2)
kivéve, ha a+1=0. A kivett esetben a=-1, ekkor (1) nem oldható meg egyértelműen, ugyanis c≠a esetén nincs megoldás, c=a=-1 esetén pedig bármely x szám kielégíti (1)-et, ez esetben a (-1)*x=-1 egyenletet.
1. Az első bizonyítandó állítás az előbbi megoldás diszkussziójának speciális esete, ti. ha c=0. Ugyanis az a*x=0 egyenlet egyetlen megoldása (2) szerint
a'=-aa+1,haa≠-1;(3)
a=-1 esetén viszont nincs megoldás, mert c=0≠a. Tehát valóban soha sincs egynél több az a*a'=0 egyenletet kielégítő szám.
2. Eszerint ha a' létezik, akkor a
(a')'=-a'a'+1=aa+1-aa+1+1=a-a+(a+1)=a,(4)
amit bizonyítanunk kellett.
3. Az
(a*b)'=a'*b'(5)
egyenlőség igazolása végett a bal és a jobb oldalt külön-külön kifejezzük a és b-vel (feltéve persze, hogy léteznek). A bal oldal
(a*b)'=(a+b+ab)'=-(a+b+ab)a+b+ab+1=-(a+b+ab)(a+1)(b+1)(6)
minden olyan esetben, ha a nevező nem 0, vagyis ha a is, b is ‐ 1-től különböző szám. ‐ (5) jobb oldala pedig, hacsak a≠-1 és b≠-1;
a'*b'=-aa+1*-bb+1=-aa+1+-bb+1+ab(a+1)(b+1)==-a(b+1)-b(a+1)+ab(a+1)(b+1)=-a-b-ab(a+1)(b+1).


Ez értékében is, létezésének feltételeiben is megegyezik (6) jobb oldalával, tehát az (5) egyenlőség valóban fennáll.
4. és 5. helyessége az eddigiekből következik. Ugyanis (5)-öt előbb a helyett a'-re, majd a és b helyett a' és b'-re felírva és mindkétszer (4) figyelembe vételével valóban fennállnak:
(a'*b)'=(a')'*b'=a*b',
illetőleg
(a'*b')'=(a')'*(b')'=a*b.

Az y=x'=-xx+1 függvény képe az
y=-x-1+1x+1=-1+1x+1,ill.y+1=1x+1
átalakítás szerint az y=1/x függvényt ábrázoló hiperbolából úgy kapható, hogy azt balra és lefelé egy-egy egységgel eltoljuk. Ahogyan az utóbbi függvénynek x=0 kivételével minden x-re van értelme, és értéke a 0-tól különböző szám, ugyanúgy az y=x' függvénynek csak x=-1-re nincs értelme és értéke mindenütt -1-től különböző. A -1 szám semmilyen számnak sem vesszőse.
 

Kiss Gábor (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. I. o. t.)

 

Megjegyzés. A csillag-műveletet értelmező egyenlőség mindkét oldalához 1-et adva
c+1=(a*b)+1=a+b+ab+1=(a+1)(b+1),
tehát az értelmezést így is írhatjuk
(a*b)+1=(a+1)(b+1)ésa*b=(a+1)(b+1)-1.
(Az 1 szám hozzáadása előtt a*b-t félreértések elkerülésére zárójelbe tettük, mert előre nem adtunk megállapodást, hogy zárójel nélkül melyik művelet hajtandó végre előbb.) Ezek felhasználásával, ha már beláttuk, hogy az a*x=c, vagyis az (a+1)(x+1)=c+1 egyenletet legfeljebb egy szám elégíti ki, az (a')'=a egyenlőséget így is bizonyíthatjuk. Az a*a'=0 egyenlet egyenértékű (a+1)(a'+1)=1-gyel, ami így is írható: (a'+1)(a+1)=1. Ugyanígy az a'*(a')'=0 egyenletből (a'+1)[(a')'+1]=1. A két utóbbi egyenlőség egybevetésével a+1=(a')'+1, és így a=(a')'.
Hasonlóan a'+1=1/(a+1) alapján egyrészt
(a'*b')+1=(a'+1)(b'+1)=1a+1⋅1b+1=1(a+1)(b+1),
másrészt
(a*b)'+1=1(a*b)+1=1(a+1)(b+1)=(a'*b')+1,
tehát (a*b)'=a'*b'.
 

Simonovits Miklós (Budapest, Radnóti M. g. II. o. t.)