Feladat: 598. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ámon Magdolna ,  Baróti Gy. ,  Belley Ágnes ,  Benczúr A. ,  Budai Irén ,  Dobó F. ,  Endreffy Z. ,  Farkas Z. ,  Fischer A. ,  Gálfi l. ,  Gáspár R. ,  Góth L. ,  Görbe T. ,  Görhöny G. ,  Horányi Katalin ,  Jójárt I. ,  Kassay T. ,  Kászonyi L. ,  Kerényi Ilona ,  Kéry G. ,  Kóta J. ,  Kunszt Z. ,  Kövessi Ágnes ,  Magyar G. ,  Máté A. ,  Máté E. ,  Minkó B. ,  Nádasdy G. ,  Németh I. ,  Nováky B. ,  Opálény M. ,  Raisz M. ,  Sebestyén Z. ,  Simonovits M. ,  Sonnevend Gy. ,  Szepesvári István ,  Szidarovszky Ágnes ,  Tekulics P. ,  Tószegi Sándor ,  Tóth A. ,  Vág I. ,  Vesztergombi Gy. ,  Zalán P. ,  Zsiday-Galgóczy K. 
Füzet: 1960/szeptember, 23 - 24. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Súlyvonal, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/november: 598. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy f átmegy a háromszög k körülírt köre C-t nem tartalmazó AB ívének F felezőpontján. Legyen továbbá az AB oldal felezőpontja C0, és m talppontja az AB egyenesen C', így FC0 az AB oldal felező merőlegese, tehát átmegy k-nak O középpontján. Másrészt FC0 párhuzamos CC'-vel, mert merőlegesek AB-re. Ebből, valamint az OCF egyenlő szárú háromszögből OCF∢=OFC∢=C'CF∢=ε.
Ha γ hegyes szög, akkor az F-et tartalmazó AB ív kisebb a félkörnél, mert a hozzá tartozó AOB=2γ középponti szög kisebb 180∘-nál. Így C0 az OF szakasznak belső pontja. Ekkor pedig az állításnak megfelelően, δ<ε, mert a C0CF=δ szög része az OCF=ε szögnek.

 
 

Ha γ=90∘, akkor mindkét AB ív félkör, és C0 azonos O-val ezért δ=ε.
Ha pedig γ tompaszög, akkor az AFB ív nagyobb félkörnél, C0 az OF sugárnak O-n túli meghosszabbításán van, ezért δ magában foglalja az ε-nal egyenlő OCF szöget, δ>ε. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 

Tószegi Sándor (Makó, József A. g. II. o. t.)
 

Megjegyzés. Néhány dolgozat külön bizonyította a δ<ε egyenlőtlenséget arra az esetre, ha α és β egyike tompaszög. Többször láttuk, hogy tompaszögű háromszögekre a bizonyítások kissé módosulnak, így a körültekintés általában helyes. Ezúttal azonban csak a kiemelt szerepet játszó γ-nak tompaszög volta kívánt más meggondolást.