Kezdőlap


Feladat:	597. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Fok József , Kunszt Zoltán , Pókos Erzsébet , Raisz Miklós , Wind László
Füzet:	1960/szeptember, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Pont körüli forgatás, Középvonal, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/november: 597. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tekintsük a feladatot megoldottnak. A súlyvonal az $A B C$ háromszöget az $A B A_{0}$ , és $A A_{0} C$ háromszögekre osztja. Ezekben az $A_{0}$ -nál levő szögek mellékszögek, és $B A_{0} = A_{0} C$ . Ha tehát az $A B A_{0}$ háromszöget $A_{0}$ körül $180^{\circ}$ -kal elforgatjuk, akkor a $B$ csúcs $C$ -be jut, és $A$ új helyzetét $A'$ -vel jelölve $A, A_{0}, A'$ egy egyenesbe esnek.

Eszerint az

A A' C

háromszög az

A A' = 2 A A_{0} = 2 s_{a}

oldalból és a rajta fekvő

C A A' = α_{2}

, és

C A' A = C A' A_{0} = B A A_{0} = α_{1}

szögekből egyértelműen megszerkeszthető (hacsak

α_{1} + α_{2} < 180^{\circ}

), és

A A'

oldalán kijelölhetjük

A_{0}

-t. Ezek után

B

-t

C

-nek

A_{0}

-ra való tükrözésével kapjuk, más szóval

B

-t visszaforgatjuk eredeti helyére.

Raisz Miklós (Miskolc, Földes F. g. I. o. t.)

Megjegyzés. Ugyanerre a szerkesztésre vezet a következő elemzés is:

B

-n át

A C

-vel és

C

-n át

A B

-vel párhuzamost húzva, és metszéspontjukat

A'

-vel jelölve az

A B A' C

négyszög paralelogramma, így az

A A'

átló átmegy a

B C

átló

A_{0}

felezőpontján.

Wind László (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. II. o. t.)

II. megoldás: Az adatokból megszerkeszthető az

A A_{0}

súlyvonalszakasz és az

A B

A C

oldalak

c

b

egyenese. Az

A_{0}

-on át

c, b

-vel húzott párhuzamosok a háromszögből az

A_{0} B_{0}

A_{0} C_{0}

középvonalakat metszik ki, így megkapjuk az

A C

A B

oldalak

B_{0}

C_{0}

felezőpontját. Ezek ismeretében

B, C

-t úgy kapjuk, hogy

A

-t

C_{0}

-ra, ill.

B_{0}

-ra tükrözzük.

Kunszt Zoltán (Pápa, Türr I. g. II. o. t.)

III. megoldás: Ha

B

végigfut az előző megoldás

c

egyenesén, akkor

C

, mint

B

-nek

A_{0}

-ra való tükörképe, végigfut

c

-nek

A_{0}

-ra való

c'

tükörképén, és

c'

kimetszi

b

-ből

C

-t.

Pókos Erzsébet (Tata, Eötvös J. g. II. o. t.)

IV. megoldás: Az adott szögek alapján a keresetthez hasonló

A B^{*} C^{*}

háromszöget kapunk, ha egy tetszés szerinti

B^{*} C^{*}

szakasz felezőpontját

A_{0}^{*}

-gal jelölve

B^{*} A_{0}^{*}

fölé, egyik oldalán megszerkesztjük az

α_{1}

nyílású látószögkörívet és

A_{0}^{*} C^{*}

fölé, ugyanazon oldalán az

α_{2}

nyílású látószögkörívet. E két ív

A_{0}^{*}

-tól különböző metszéspontja

A

Most már

B, C

-t úgy kapjuk, hogy felmérjük

A

-tól

A A_{0}^{*}

-ra

A A_{0} = s_{a}

-t és

A B^{*}, A C^{*}

-ot az

A_{0}

-on átmenő,

B^{*} C^{*}

-gal párhuzamos egyenessel metsszük.
Szerkesztésnél fogva

A A_{0} B

és

A A_{0}^{*} B^{*}

valamint

A A_{0} C

és

A A_{0}^{*} C^{*}

hasonló háromszögek, ezért

B A_{0} = B^{*} A_{0}^{*} \cdot A A_{0} / A A_{0}^{*}

és

C A_{0} = C^{*} A_{0}^{*} \cdot A A_{0} / A A_{0}^{*}

, amiből

B^{*} A_{0}^{*} = C^{*} A_{0}^{*}

alapján

B A_{0} = C A_{0}

, így

A_{0}

felezi

B C

-t. Továbbá

A A_{0} = s_{a}

, és ez az

A B

A C

oldalakkal az előírt

α_{1}

α_{2}

szögeket alkotja, tehát az

A B C

háromszög megfelel a követelményeknek.

Fok József (Budapest, I. István g. II. o. t.)