Kezdőlap


Feladat:	595. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Molnár Katalin , Wáczek Zsuzsa
Füzet:	1960/szeptember, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/november: 595. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A feltevés szerint az

\begin{matrix} (5 x + 7 y) : m = (3 x + 2 y) : n \end{matrix}

aránypár is helyes. E két arány közös értékét

k

-val jelölve

\begin{matrix} 5 x + 7 y = k m, 3 x + 2 y = k n . \end{matrix}

(1)

x, y

meghatározására egyenletrendszer, megoldása:

\begin{matrix} x = k (7 n - 2 m) / 11, y = k (3 m - 5 n) / 11, \end{matrix}

és ezeket a kívánt arányba helyettesítve

\begin{matrix} \frac{13 x + 16 y}{2 x + 5 y} = \frac{11 (13 x + 16 y)}{11 (2 x + 5 y)} = \frac{13 k (7 n - 2 m) + 16 k (3 m - 5 n)}{2 k (7 n - 2 m) + 5 k (3 m - 5 n)} = \\ = \frac{22 m + 11 n}{11 m - 11 n} = \frac{2 m + n}{m - n} . \end{matrix}

Wáczek Zsuzsa (Budapest, Szilágyi E. lg. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Lényegében így oldjuk meg a feladatot akkor is, ha

y \neq 0

feltevés után az adott aránypár első két tagját

y

-nal osztjuk, az így a

z = x / y

hányadosra adódott elsőfokú egyenletet megoldjuk és

z

-t behelyettesítjük a kérdéses arányból

y

-nal való egyszerűsítés útján kapott arányba.
És ezt csináljuk akkor is, ha az adott arányból pl.

y

-t

m, n

és

x

-szel kifejezve a kapott kifejezést helyettesítjük a kérdéses arányba és megállapítjuk, hogy a követelményt sikerült teljesíteni, mert

x

kiesik.

Molnár Katalin (Körmend, Kölcsey F. g. II. o. t.)

2. Itt

x

és fent

k

kiesése azon múlik ‐ valamint az is, hogy az

x / y

hányadost kifejezhettük csak

m

és

n

-nel ‐, hogy az

x

-et és

y

-t tartalmazó arányokban nincs olyan tag, amely

x

és

y

mindegyikétől független. Ezt úgy szokás mondani, hogy az

5 x + 7 y

3 x + 2 y

13 x + 16 y

és

2 x + 5 y

kifejezések minden tagja

x

és

y

-ban egyenlő fokú, ,,homogén''.
3. Természetesen nem lehet

n = 0

, mert így az ismertnek tekintendő

m : n

aránynak nem volna értelme; ugyanígy az adott aránypár második tagja:

3 x + 2 y

sem lehet

0

. Ennélfogva az sem lehet, hogy

x

és

y

értéke egyszerre

0

legyen, tehát a kérdéses aránynak mindig van értelme.

II. megoldás: Keressünk olyan

λ

μ

számokat, amelyekkel minden

x, y

számpárra fennáll:

λ (5 x + 7 y) + μ (3 x + 2 y) = 13 x + 16 y

(kivéve természetesen az

x = y = 0

párt, amelyre az aránynak nincs értelme). Követelésünk teljesül, ha

x

és

y

két oldali együtthatói megegyeznek:

\begin{matrix} 5 λ + 3 μ & = 13 \\ 7 λ + 2 μ & = 16. \end{matrix}

Ebből az egyenletrendszerből

λ = 2

és

μ = 1

. ‐ Hasonlóan, azt követelve, hogy

2 x + 5 y = ν (5 x + 7 y) + ξ (3 x + 2 y)

azonosság legyen, adódik:

ν = 1

ξ = - 1

.
Ezekből és (1) feltevésével

\begin{matrix} \begin{matrix} 13 x & + 16 y & = λ k m & + μ k n & = k (2 m + n), \\ 2 x & + 5 y & = ν k m & + ξ k n & = k (m - n), \end{matrix} \end{matrix}

ennélfogva

\begin{matrix} (13 x + 16 y) : (2 x + 5 y) = (2 m + n) : (m - n) . \end{matrix}