A keresett szám számtani közepe a belőle növelés és csökkentés útján kiadódott, csupa egyenlő jeggyel írt számoknak, mert a végrehajtott növelés és csökkentés egyenlők. Másrészt az adódott számok különbsége $2$-szerese a számjegyek összegének.
Kiadódott számok gyanánt az $\overline{aaa}=111\cdot a$ alakú számok mellett elképzelhető, hogy a számjegyek összegének hozzáadásánál négyjegyű szám is, levonáskor pedig kétjegyű is keletkezhet. Nem lehet azonban, hogy mindkét kiadódott szám háromjegyű legyen, mert két ilyen különbsége legalább $111$, a számjegyek összegének $2$-szerese pedig legfeljebb $2\left(9+9+9\right)=54$ lehet. Ebből az is következik, hogy nem jöhet szóba a növeléssel kapott számra négyjegyű szám sem, mert a legkisebb ilyen szám $1111$, és ez $112$-vel nagyobb a legnagyobb szóba jövő háromjegyűnél, $999$-nél.
Ezek szerint a növeléssel kapott szám csak $111$ lehet, különben a számjegyek kétszeres összegére ismét $54$-nél több adódna, a csökkentéssel kapott szám pedig kétjegyű. Mivel az eredeti szám legalább $100$, azért a jegyek összege nem lehet több mint $111-100=11$, ezért a csökkentéssel kapott szám nem lehet kisebb $100-11=89$-nél, tehát csak $99$ lehet.
Mindezeknél fogva a keresett szám csak $\left(99+111\right)/2=105$ lehet. Ez valóban megfelel, mert jegyeinek összege $6$ és $105+6=111$, $105-6=99$.