Feladat: 591. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benczúr András 
Füzet: 1960/május, 181 - 182. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/október: 591. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismert tétel szerint

PB⋅PC=PE2,(1)
ahol E a P-ből k-hoz húzható érintő érintési pontja. Másrészt a követelmény szerint
BC⋅PC=d2.(2)
(1) és (2) összege
(PB+BC)PC=PC2=PE2+d2,(3)
eszerint s keresett helyzetére a körrel való, P-től távolabbi metszéspontnak P-től való távolsága a Püthagorász-tétel alapján megszerkeszthető, lásd az ábra PED háromszögét. C-t a P körül PD sugárral írt segédkör metszi ki k-ból.
 
 

A megoldások száma attól függ, hogy PD milyen nagyságviszonyban áll PF-fel, ahol F a k-nak P-től legtávolabb fekvő pontja, éspedig 2, 1, vagy 0, aszerint, hogy PD⋚PF. (PD<PF esetén a 2 megoldás biztosan létezik, nem kell arra gondolnunk, hogy a segédkör nem metszi k-t. Ha ugyanis a k-nak P-hez legközelebbi pontja G, akkor (3) szerint PC>PE>PG.)
Könnyű belátni, hogy a fentiek szerinti C1, C2-vel képezett s1, s2 szelőkkel a követelmény teljesül.
A megoldhatóság és a megoldások számának feltételét úgy is alakíthatjuk, hogy abban csak az eredeti adatok lépnek fel: k-nak r sugara, P-nek a k kör O középpontjától mért t távolsága (t>r) és d. Ugyanis PE2=t2-r2 és PF=t+r, és így 2, 1, 0 megoldás van, aszerint, amint d2⋚2r(t+r).
 

Benczur András (Budapest, Fazekas M. Gimn. II. o. t.)