Feladat: 590. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Nádasdy Gábor 
Füzet: 1960/május, 180 - 181. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/október: 590. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A figyelembe vett háromszögek mindegyike O-nál derékszögű, ezért a körülírt körök középpontja rendre az AC,BD, ill. AD,BC szakasz O1,O3, ill. O2,O4 felezőpontja. A négy középpont egy olyan T1 téglalapot határoz meg, melynek oldalai és szimmetriatengelyei párhuzamosak AB-vel, ill. CD-vel, mert O1O2 az ACD,O3O4 a BCD háromszögnek a CD-vel párhuzamos középvonala, továbbá O1O4 és O2O3 az ABC, ill. ABD háromszögnek AB-vel párhuzamos középvonala.

 
 

OP,OQ mint közös húrok, merőlegesek a körpárok O1O3,O2O4 centrálisára, T1 átlóira. Ha tehát T1-et a K középpontja körül 90∘-kal elforgatjuk, a kapott T2 téglalap párhuzamosak OP és OQ-val, másrészt szimmetriatengelyei azonosak T1 tengelyeivel, párhuzamosak AB és CD-vel. Eszerint OP és OQ irányai tükrös párok AB-re és CD-re. És mivel még O közös pontjuk AB-n is, CD-n is rajta van, azért maguk az OP, OQ egyenesek is tükrös párok AB-re és CD-re. Ezt kellett bizonyítanunk.
 

Nádasdy Gábor (Pápa, Türr I. Gimn. I. o. t.)

 

Megjegyzés. Nem jön létre mind a négy szóban forgó háromszög, ha O egybeesik az A, B, C, D pontok egyikével, pl. C-vel, vagyis A, B, C egy egyenesen feküsznek, Ha ekkor az AOC és BOC ,,háromszögek'' körülírt körének a legkisebb olyan kört vesszük, amely mindegyik csúcsukon átmegy, akkor az állítás érvényben marad, hiszen így O1, ill. O4 továbbra is az AC, BC felezőpontja. ‐ P, ill. Q nem adódik az O-tól különbözőnek, és így OP, OQ-nak legalább az egyike közvetlenül nincs értelmezve, ha az AB és CD szakaszok egyik végpontja közös (mert ilyenkor egyik kör ponttá zsugorodik), vagy ha AC és BD (vagy AD és BC) párhuzamosak (más szóval: A, B, C, D egy trapéz, vagy éppen paralelogramma csúcsai) és így T1-nek egyik, esetleg mindkét átlója átmegy O-n (mert ilyenkor legalább az egyik körpár O-ban érintkezik). Ilyenkor OP helyett az O-n át O1O3-ra merőlegest véve az állítás természetesen helyes marad. ‐ Az viszont lényegtelen, hogy O (ha már A, B, C, D egyikével sem esik egybe) az AB, CD szakaszokon van-e vagy meghosszabbításukon.