A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Előzetes megjegyzés. A mértani középre vonatkozó adat kézenfekvővé teszi a szerkesztésnek számítással való előkészítését. Igyekszünk azonban geometriai meggondolások révén minél kevesebb számolással célhoz érni.
I. megoldás: Az átfogó ismeretében csak a derékszög csúcsát kell megkapnunk. Erre egy mértani hely az átmérő fölötti Thalész-kör, a háromszög körülírt köre. Az átfogó felezőpontja egyben középpontja, ezért a súlyvonal egyenlő -nak sugarával, az átfogó felével. Így a feltétel szerint A bal oldal a háromszög kétszeres területét jelenti, az pedig másképpen -vel egyenlő. Így -ből . Ennek alapján a háromszöget a következőképpen szerkeszthetjük meg: az átfogó felett megrajzoljuk a Thalész-kört (elég az egyik oldalán levő felét, így megválasztva, hogy -t melyik oldalon kívánjuk), ebből az -re merőleges sugárral kimetsszük az fölött magasságban fekvő pontot; végül -nek felező merőlegesével -ból kimetsszük -t. A két metszéspont -nek felező merőlegesére tükrös, ezért az adódó két háromszög egybevágó. 1. ábra A nyert háromszög megfelelő, mert derékszögű, továbbá -re merőleges magassága , így kétszeres területe , és ez egyenlő -vel. Innen a befogók mértani középarányosa: , és ezzel teljesül a követelmény, mert a kérdéses súlyvonal hossza ugyancsak . A csúcsot mint és metszéspontját birtokában megrajzolása nélkül is megszerkeszthetjük. Mivel ugyanis egy körüli körív, így az körül sugárral rajzolt ív éppen -t és -re vonatkozó tükörképét metszi ki -ból.
Szekeres Veronika (Makó, József A. Gimn. I. o. t.) |
Megjegyzés. Tudva, hogy , meghatározhatjuk és megszerkeszthetjük a háromszög szögét is. Jelöljük tükörképét -re -vel. Ekkor a háromszög minden oldala hosszúságú, tehát , így és a egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei, amelyek egyike , -osak. ‐ Ennek alapján az szakasz felezőpontja körül, és végpontja körül sugárral , ill. kört rajzolunk; legyen ezek egyik metszéspontja . A körül sugárral rajzolt körívnek -vel való (-től különböző) metszéspontját -fel összekötő egyenes metszi ki -ból a keresett csúcsot.
II. megoldás: Forgassuk el a feltételnek megfelelő háromszög befogóját az átmérő fölötti, -t tartalmazó félkörív felezőpontja körül -kal (2. ábra). 2. ábra Ekkor párhuzamos helyzetbe kerül -vel. az elforgatáskor -ba kerül, ezért az egyenes egy pontjába kerül. Mivel a feladat feltétele szerint azért ‐ annak a tételnek az alapján, hogy a körhöz egy külső pontból húzott szelőn keletkezett szakaszok mértani közepe egyenlő a pontból a körhöz húzható érintővel ‐ az pont körül -n és -n át rajzolt körhöz -ból húzható érintők hossza . Tehát az érintési pontokat az körül sugárral rajzolt kör és az mint átmérő fölé rajzolt kör metszéspontjai adják. Ezek egyike az szakasz felezőpontja, ezért érinti -ben -t, és így sugara . A pontot tehát az körül sugárral rajzolt kör metszi ki -ból. Az így szerkesztett pont megfelel a feltételnek, mert a kör -vel való másik metszéspontját -vel jelölve . Másrészt az körüli -os elforgatással átvihető -be és így .
Lakner József (Székesfehérvár, József A. g. II. o. t.) |
III. megoldás: A szakaszok mértani közepére előbb idézett tétel szerint az -t -ben érintő és -n átmenő kör -t (mint szelőt) másodszor abban a ( és közti) pontjában metszi, amelyre (3. ábra). 3. ábra A szög -nek ívén fekszik, ezért egyenlő az szöggel, és mivel a háromszög egyenlő szárú (a és oldalak sugarai), azért egyszersmind -val, tehát egyenlő szárú háromszög, . Legyen az -en át -vel húzott párhuzamosnak -vel való második metszéspontja . Ez a párhuzamos felezi az szöget (középponti szög a kör ívén), mert a szög egyállású -val, ennélfogva felezi -nek az szög szárai közötti ívét is. Így a , húrok egyenlők, és mivel a idom húrtrapéz, azért . Ebből következik, hogy az és háromszögek egybevágók, mert két oldaluk és közbezárt szögük egyenlő, tehát . Így pedig az háromszög egyenlő oldalú, a szög . Ebből , eszerint középpontjából az húr -os szögben látszik, így sugara egyenlő -rel, tehát azonos az előző megoldásbeli -gyel.
IV. megoldás: Kiszámíthatjuk a befogókat is. Feltehetjük, hogy . Az egyenlőséget az ismeretlen , -re egyenletnek tekintve és az püthagorászi egyenlőséggel összekapcsolva könnyen megoldható típusú egyenletrendszert kapunk. Az első egyenlet kétszeresét a másodikból kivonva, majd hozzáadva -re, ill. -re adódik egyenlet:
és innen, minthogy szakaszok pozitív különbségéről, ill. összegéről van szó: amik egyszerűen megszerkeszthető hosszúságok. Innen megkaphatjuk -t vagy -t; de -ből vagy -ből, továbbá a oldalból és a vele szemben fekvő szögből a háromszög ismert módon közvetlenül is megszerkeszthető.
Windisch Ferenc (Budapest, József A. Gimn. II. o. t.) |
|
|