Kezdőlap


Feladat:	587. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ámon Magdolna , Kászonyi László
Füzet:	1960/április, 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/október: 587. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tegyük fel a feladat állításával ellentétben, hogy van olyan szomszédos természetes számokból álló pár, amelyek közül az első egy páros szám négyzete, a második egy négyzetszám 3-szorosa. Ezek ${(2 k)}^{2} = 4 k^{2}$ , illetőleg $3 n^{2}$ alakban írhatók, tehát $4 k^{2} + 1 = 3 n^{2}$ . Itt a bal oldal párátlan, ezért a jobb oldal is, tehát $n = 2 m + 1$ . Ezzel feltevésünk a $4 k^{2} + 1 = 3 (4 m^{2} + 4 m + 1) = 4 (3 m^{2} + 3 m) + 3$ alakot veszi fel, ami nyilván lehetetlen, mert 4-gyel osztva a bal oldal maradéka 1, a jobb oldalé 3. Eszerint feltevésünk helytelen, az állítás első része igaz.
Hasonlóan nem állhat fenn az $r^{2} + 1 = 7 s^{2}$ egyenlőség sem, mert $s$ -nek páros $r$ mellett páratlannak kell lennie, páratlan $r$ mellett pedig párosnak és ezek mindegyikéből ellentmondásra jutunk, ismét a 4-gyel való oszthatóság szempontjából, mert egyrészt

\begin{matrix} {(2 k)}^{2} + 1 = 4 k^{2} + 1 és 7 {(2 m + 1)}^{2} = 4 (7 m^{2} + 7 m + 1) + 3, \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} {(2 k + 1)}^{2} + 1 = 4 (k^{2} + k) + 2 és 7 {(2 m)}^{2} = 4 (7 m^{2}) + 0. \end{matrix}

Kászonyi László (Szombathely, Nagy Lajos g. I. o. t.)

II. megoldás: Az állításnál több is igaz: egy természetes szám négyzetére következő szám sem lehet semmiféle természetes számnak a 3-szorosa. Ugyanis minden természetes szám vagy

3 k

, vagy

3 k + 1

, vagy

3 k + 2

alakban írható, ezért négyzete vagy

3 (3 k^{2})

, vagy

3 (3 k^{2} + 2 k) + 1

, vagy

3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1

alakú, így a rákövetkező szám az első esetben

3 m + 1

, a további kettőben

3 m + 2

alakú, tehát nem többszöröse 3-nak.
Hasonlóan a 7-tel való oszthatóság szempontjából minden szám a következő alakok egyikében írható:

\begin{matrix} 7 k, 7 k \pm 1, 7 k \pm 2, 7 k \pm 3, \end{matrix}

tehát a négyzetére következő szám

\begin{matrix} 7 (7 k^{2}) + 1, 7 (7 k^{2} \pm 2 k) + 2, 7 (7 k^{2} \pm 4 k) + 5, 7 (7 k^{2} \pm 6 k + 1) + 3 \end{matrix}

alakú, eszerint nem lehet semmilyen egész számnak 7-szerese, többek között négyzetszámnak sem.

Ámon Magdolna (Győr, Zrínyi Ilona lg. I. o. t.)