Feladat: 582. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1960/április, 129 - 130. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Sokszög lefedések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/szeptember: 582. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A ,,The Mathematical Gazette'' (London) szöveg nélküli ábrái alapján.

 
 

Ábránk mindegyik sokszög lefedésére mutat legalább egy lehetőséget. Nyilvánvaló, hogy a hatszögre ez az egyetlen. Hogy az N nyolcszög is csak a mutatott módon fedhető le, az a következőképpen látható be. Lefedésben N mindegyik oldalához teljes oldalával támaszkodik egy-egy rombusz. N minden szöge 135∘, egyenlő az F ferde rombuszok tompaszögével. Ezért ha egy F támaszkodik N egy oldalához, akkor ennek egyik szomszédjához is, ennélfogva N-nek páros számú oldalához támaszkodik F. Lehetetlen azonban, hogy mind a 8 oldalhoz F támaszkodjék, mert így minden F-et elhelyezünk, N minden második csúcsánál 45∘-os szögek maradnak szabadon és ezek nem fedhetők le egyrétűen a hátralevő D derékszögű rombuszokkal (négyzetekkel). Így ugyancsak pozitiv páros számú oldalhoz kell D-nek támaszkodnia. Ez a szám csak 2 lehet, mert mindkét D az N-nek csak 1 ‐ 1 oldalához támaszkodhat. Már most a két D nem csatlakozhat N-nek sem szomszédos, sem egymásra merőlegesen álló oldalaihoz, mert így átfedés állna elő, és szemközti oldalakhoz sem, mert akkor köztük a kerület mindkét szabadon maradó szakaszát 3 egymás utáni N-oldal alkotná, vagyis páratlan számú oldal, holott az F-ek beillesztéséhez páros számú egymás utáni oldalra van szükség. Így a két D csak úgy támaszkodhat két N-oldalhoz, hogy a még fedetlen 6 oldal 4 és 2-tagú összefüggő szakaszokat alkosson. Ezekhez a 2, ill. 1 F csak egyféleképpen támaszkodhat, és az ezek után fedetlenül maradt rész éppen egy F-fel egybevágó.
Nem sok rendszeres kísérlettel meg lehet állapítani, hogy a 10-szögnek 7, ill. a tengelyes szimmetriát mutatókat azonosaknak tekintve 6 különböző lefedése lehetséges, ezekből egy egytengelyű és egy aszimmetrikus megoldást mutatunk be. Hogy az egyre nagyobb és nagyobb oldalszámú sokszögek lefedésére a lehetőségek száma mind nagyobb, ezt az állítást valószínűvé teszi, hogy a lefedésekben egyre többször adódnak olyan 6-, 8-, 10- ...-szög alakú részletek, amelyeknek szemben fekvő oldalai párhuzamosak és egyenlők, tehát egy középpontra tükrösek, az ilyenek pedig legalább még egy módon lefedhetők. A 12-szögre mutatott példáinknak 3-as forgási szimmetriájuk van, és a másodiknak 3 tengelye is.