Kezdőlap


Feladat:	572. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bach Katalin , Biborka T. , Bollobás B. , Bornes Klára , Dóra Gy. , Faludi Irén , Farkas Z. , Fischer A. , Fritz J. , Gagyi Pálffy A. , Gálfi l. , Katona Éva , Katona Mária , Kéry G. , Klimó J. , Kóta G. , Kovács Imre , Krámli A. , Molnár E. , Nováky B. , Pósa L. , Salamin P. , Szabó Júlia , Tomcsányi Gy.
Füzet:	1960/február, 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paralelogrammák, Húrnégyszögek, Négyszögek középvonalai, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/május: 572. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Gondoljuk a feladatot megoldottnak és legyen a keresett négyszög $A B C D$ , benne az $A C$ és $B D$ átlók metszéspontja $K$ , és az $A B$ és $C D$ , valamint $B C$ és $A D$ oldalak $F_{1}$ , $F_{3}$ , $F_{2}$ , $F_{4}$ felezőpontjait összekötő $F_{1} F_{3}$ és $F_{2} F_{4}$ egyenesek metszéspontja $L$ . Legyen továbbá $k$ középpontja $O$ és az $A C$ , $B D$ átlók felezőpontja $M$ , $N$ .

Ismeretes, hogy az

F_{1} F_{2} F_{3} F_{4}

négyszög (bármely

A B C D

négyszög esetén) paralelogramma,

L

felezi az

F_{1} F_{3}

F_{2} F_{4}

szakaszokat. Így

L

M N

szakaszt is felezi, mert

M

és

N

mind az

F_{1}, F_{3}

mind az

F_{2}, F_{4}

pontpárral ugyancsak egy-egy paralelogrammát határoz meg, ugyanis pl. az

F_{2} M

és

N F_{4}

szakaszok, mint az

A B C

és

A B D

háromszögekben a közös

A B

oldallal párhuzamos középvonalak egyirányúan párhuzamosak és egyenlők, így az

F_{2} M F_{4} N

négyszög paralelogramma és

L

ennek ‐ az

F_{2} F_{4}

átló révén ‐ középpontja.
Másrészt

K M

K N

mint az

A C

B D

húrok egyenesei merőlegesek

O M

, ill.

O N

-re, így

M

és

N

K O

átmérő fölötti

k'

Thalész-kör pontjai (akkor is, ha

M

N

vagy mindkettőjük azonos

O

-val), eszerint

L

k'

-ben húrfelező pont.
Ezek alapján a szerkesztés a következő: vesszük az

O K

átmérőjű

k'

körnek azt a húrját, amelynek felező pontja

L

; ennek végpontjait

K

-val összekötő egyenesek a keresett négyszög átlói.
Valóban,

A B C D

csúcsai

k

-n vannak, az átlók metszéspontja

K

, az

L

pont felezi az átlók

M

N

felezőpontjaival meghatározott szakaszt, így rajta fekszik az

F_{1} M F_{3} N

és

F_{2} M F_{4} N

paralelogrammák

F_{1} F_{3}

, ill.

F_{2} F_{4}

átlóján.
A szerkesztés lépései általában egyértelműek. Ha

K ≢ O

és

k'

magában foglalja

L

-et, de

L

nem azonos

k'

-nek

O'

középpontjával, akkor egy megoldás van. Ha

L \equiv O'

, akkor végtelen sok megoldás van, valamennyiben az átlók merőlegesek egymásra. Ha

k'

átmegy

L

-en, akkor a négyszög elfajul, mert átlói egybeesnek. Elfajult helyzet áll elő

K \equiv O

esetén is:

k'

sugara

0

, tehát csak

L \equiv K \equiv 0

-mellett lehet megoldás, ilyenkor bármely a

k

-ba írt téglalap megoldásnak tekinthető.

Szabó Júlia (Kecskemét, közg. t. III. o. t.)

Megjegyzés. Két dolgozat szerint: ,,a feladatot az adatok elégtelensége miatt nem lehet megoldani, mert húrnégyszög szerkesztéséhez 4 adat szükséges, itt pedig csak 3 van:

k

K

L

.'' Ez téves; az idézett megállapítás méretes (szakasz és szög) adatokra vonatkozik, itt pedig helyzet-adatokból szerkesztettünk; másrészt

k

két adatnak számít: adott a középpontja és a sugara.