|
Feladat: |
572. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bach Katalin , Biborka T. , Bollobás B. , Bornes Klára , Dóra Gy. , Faludi Irén , Farkas Z. , Fischer A. , Fritz J. , Gagyi Pálffy A. , Gálfi l. , Katona Éva , Katona Mária , Kéry G. , Klimó J. , Kóta G. , Kovács Imre , Krámli A. , Molnár E. , Nováky B. , Pósa L. , Salamin P. , Szabó Júlia , Tomcsányi Gy. |
Füzet: |
1960/február,
63. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Paralelogrammák, Húrnégyszögek, Négyszögek középvonalai, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1959/május: 572. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Gondoljuk a feladatot megoldottnak és legyen a keresett négyszög , benne az és átlók metszéspontja , és az és , valamint és oldalak , , , felezőpontjait összekötő és egyenesek metszéspontja . Legyen továbbá középpontja és az , átlók felezőpontja , .
Ismeretes, hogy az négyszög (bármely négyszög esetén) paralelogramma, felezi az , szakaszokat. Így az szakaszt is felezi, mert és mind az mind az pontpárral ugyancsak egy-egy paralelogrammát határoz meg, ugyanis pl. az és szakaszok, mint az és háromszögekben a közös oldallal párhuzamos középvonalak egyirányúan párhuzamosak és egyenlők, így az négyszög paralelogramma és ennek ‐ az átló révén ‐ középpontja. Másrészt , mint az , húrok egyenesei merőlegesek , ill. -re, így és a átmérő fölötti Thalész-kör pontjai (akkor is, ha , vagy mindkettőjük azonos -val), eszerint a -ben húrfelező pont. Ezek alapján a szerkesztés a következő: vesszük az átmérőjű körnek azt a húrját, amelynek felező pontja ; ennek végpontjait -val összekötő egyenesek a keresett négyszög átlói. Valóban, csúcsai -n vannak, az átlók metszéspontja , az pont felezi az átlók , felezőpontjaival meghatározott szakaszt, így rajta fekszik az és paralelogrammák , ill. átlóján. A szerkesztés lépései általában egyértelműek. Ha és magában foglalja -et, de nem azonos -nek középpontjával, akkor egy megoldás van. Ha , akkor végtelen sok megoldás van, valamennyiben az átlók merőlegesek egymásra. Ha átmegy -en, akkor a négyszög elfajul, mert átlói egybeesnek. Elfajult helyzet áll elő esetén is: sugara , tehát csak -mellett lehet megoldás, ilyenkor bármely a -ba írt téglalap megoldásnak tekinthető.
Szabó Júlia (Kecskemét, közg. t. III. o. t.) | Megjegyzés. Két dolgozat szerint: ,,a feladatot az adatok elégtelensége miatt nem lehet megoldani, mert húrnégyszög szerkesztéséhez 4 adat szükséges, itt pedig csak 3 van: , , .'' Ez téves; az idézett megállapítás méretes (szakasz és szög) adatokra vonatkozik, itt pedig helyzet-adatokból szerkesztettünk; másrészt két adatnak számít: adott a középpontja és a sugara. |
|