Feladat: 571. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bach Katalin ,  Bollobás Béla ,  Dóra Gy. ,  Egyed Julianna ,  Endreffy Z. ,  Faludi Irén ,  Farkas Z. ,  Fekete Rozália ,  Fischer A. ,  Gallyas Györgyi ,  Gáti P. ,  Gergelics L. ,  Gonda Júlia ,  Haupert J. ,  Hegedűs Jenő ,  Horváth Kálmán ,  Juhász I. ,  Katona Éva ,  Katona Mária ,  Kéry G. ,  Klimó J. ,  Korenchy Emőke ,  Kóta G. ,  Kovács Imre ,  Krámli A. ,  Marton D. ,  Molnár E. ,  Molnár L. ,  Nagy Dénes L. ,  Nagy Dezső ,  Náray-Szabó G. ,  Németh István ,  Nováky Béla ,  Pinkert A. ,  Regényi E. ,  Sólyom I. ,  Somlai Klára ,  Szabó Júlia ,  Szalay G. ,  Székács Gy. ,  Székely J. ,  Szidarovszky Ágnes ,  Szilvási I. ,  Szoboszlai L. ,  Veszelovszki Erzsébet ,  Vesztergombi Gy. 
Füzet: 1960/február, 62. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Exponenciális egyenletek, Logaritmusos egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/május: 571. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet mindkét oldala pozitív, van logaritmusa, ezek egyenlőségéből rendezéssel x-re másodfokú egyenletet kapunk.1

(x+1)(lga+xlgb)=lgc,(lgb)x2+(lga+lgb)x+(lga-lgc)=0(1)
(ugyanis x2 együtthatója lgb≠0). Ennek diszkriminánsa:
D=(lga+lgb)2-4(lga-lgc)lgb=(lga-lgb)2+4(lgb)(lgc),
pozitív, mert az utóbbi alak szerint mindkét tagja pozitív. Ezzel az állításnál többet bizonyítottunk be, azt, hogy az egyenletnek két különböző valós gyöke van.
Az adott számértékekből, tízes alapú logaritmusok használatával:
D=1,07922-4(-0,2219)⋅0,6021=1,1647+0,5342=1,6989)2
2 innen D=1,3034 3, és így a gyökképlettel x1≈0,186, x2≈-1,979. 4 A behelyettesítés mutatja, hogy az adott egyenletet mindkét érték kielégíti.
 

Gallyas Györgyi (Budapest, Szilágyi E. lg. II. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Az (1) egyenlet bármely megengedett (azaz 1-től különböző, pozitív) d-alapú logaritmusokkal érvényes. A diszkrimináns második tagja nem azért pozitív, mert logdb és logdc pozitívok, hanem mert egyenlő előjelűek; ez pedig akkor is teljesül bármely megengedett d-vel, ha b és c mindegyike 1-nél kisebb pozitív szám.
 

Bollobás Béla (Budapest, Apáczai Csere J.,gyak. g. II. o. t.)
 

2. b,c>1, ill. c<b, c<1 elegendő feltétele annak, hogy a gyökök valósak és különbözők legyenek, de nem szükséges. A diszkrimináns lehet pozitív akkor is, ha (lgb)(lgc)<0. ‐ Az a számról csak a pozitívságot használtuk ki, 1-hez való nagyságviszonyát nem. Hasonlóan lehet c=1 is. Ekkor (1) nélkül is látható, hogy vagy x=-1, vagy abx=1 és x=-lga/lgb=-logba.
 

3. Számos versenyző csak az elméletet tekinti fontosnak, numerikus számítását nem ellenőrzi pl. behelyettesítéssel; láthatóan nem érez felelősséget számbeli állításaiért.
1Az egyenleteket egyelőre 10-alapú logaritmusokkal értsük.

2 A négyzetben 5 értékes jegyet írtunk ki, amennyi az alapban van, ugyanis két tényezős szorzatban (ha, mint itt is; tényezői kerekítéssel jöttek létre) legfeljebb annyi értékes jegyet vehetünk biztosnak, amennyi a kevesebb értékes jeggyel bíró tényezőben van. Ugyanezért a második tagban 4 jegyet írtunk ki (a 4-es tényező nem kerekített!). A dolgozatok legtöbbje ‐ efféle ismeretek hiányában ‐ fölösleges (biztosra semmi esetre sem vehető) jegyeket is kiírt. ‐ Szerk.

3 Az előbbi megjegyzés megfordításával írtunk ki 5 jegyet.

4Az osztandók 4, ill. 5 jegyűek voltak, de több művelet után valószínű, hogy a helyes értékes jegyek száma csökken, emiatt eggyel ‐ eggyel kevesebb értékes jegyet írtunk ki.