Feladat: 570. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bede Zoltán ,  Sebestyén Ágnes 
Füzet: 1960/január, 16. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/május: 570. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Bebizonyítjuk, hogy az egyenlőtlenség két oldalán álló számokban az egyesek helyén álló számjegyek különbözőek. Így a két szám nem lehet egyenlő. ‐ A bal oldali szorzat egyes jegyének lehetséges értékei:

0⋅=01⋅2=2,2⋅3=6,3⋅4-ből2,4⋅5-ből0,5⋅6-ból0,6⋅7-ből2,7⋅8-ból6,8⋅9-ből2,9⋅0-ból0,
vagyis 0, 2, vagy 6. A jobb oldal pedig 2(5y+2)=10y+4, egyes jegye 4.
 

Sebestyén Ágnes (Budapest; V. ker., Deák téri ált. isk. VI. o. t.)
 

Megjegyzés. Két egész szám tízes számrendszerbeli alakja akkor és csak akkor végződik ugyanarra a jegyre, ha különbségük osztható 10-zel. Ennek és az a(a+1)-b(b+1)=(a-b)(a+b+1) azonosságnak az alapján a bal oldali vizsgálatok száma csökkenthető. Ugyanis a-b és a+b+1=(a-b)+(2b+1) egyike páros, így ha valamelyik osztható 5-tel, akkor szorzatuk osztható 10-zel. Így a-b=5, azaz a=b+5-tel a fenti második sor mellőzhető, a+b+1=5, azaz a+1=5-b-vel pedig az első sor utolsó két esete.
 

II. megoldás: Elég azt belátni, hogy a két oldal egyenlőségének feltevésével és átrendezéssel adódó x2+x-10y-4=0, x-re nézve másodfokú egyenletnek egész y mellett nem lehet egész gyöke. A diszkrimináns: 40y+17, ez negatív y-ra negatív, így x nem valós; nem negatív y-ra pedig 7-re végződő egész szám, nem teljes négyzet.
 

Bede Zoltán (Miskolc, Földes F. g. II. o. t.)