A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Osszuk a 8 tagot 4 egymás utáni tag-párba. Minden ilyen pár olyan szorzatként irható, melynek egyik tényezője , mert minden ilyen tag-pár második tagja az elsőből egyetlen tényezőnek -nal való pótlásával áll elő, többi tényezőik közösek. Így az egész kifejezésnek tényezője:
Itt a második többtagú hasonlóan alakítható, és helyett és -nel, és | | (1) | Ezzel a feladatot megoldottnak tekinthetjük.
Rády Erika (Szeged, Rózsa F. g. II. o. t.) | II. megoldás: Ráismerve, hogy azonos szerkezetű a két egyenlő kitevőjű hatvány különbségének szorzattá való alakításában szereplő ,,hosszabb'' többtagúval, írhatjuk, hogy , ‐ természetesen feltéve, hogy . Most a számlálót két négyzet különbségének tekintve, majd ezt az elvet az első tényezőre ismét alkalmazva, végül az osztási lehetőséget kihasználva
Gyaraki Károly (Tata, Eötvös J. g. I. o. t.) | Megjegyzések. 1. Az I. megoldás első észrevételében kimondott tulajdonság bármely két szomszédos tagjára fennáll, ezért egy mértani sor összegének is tekinthető hányadossal. Ebből és , azaz esetén a mértani sor összegképletével is eljutunk a II. megoldás kiindulópontjához.
Horváth Tibor (Szombathely, Nagy Lajos g. II. o. t.) | 2. Az 1. megjegyzésben említett megegyezés alapja az, hogy a mértani sor összeg-képlete csupán más alakja a két egyenlő kitevőjű hatvány különbsége szorzat-felbontásának. 3. A fenti felbontáshoz (polinom gyöktényezőire gondolva) Bézout tétele alapján is eljuthatunk (lásd gimn. IV. o. tankönyv).
Gáti Pál (Pécs, Nagy Lajos g. II. o. t.) | 4. Az (1) alak tetszetős szimmetriájának megbontásával az tényező tovább bontható: | | a kapott két tényező azonban, valamint az tényező is, valós számokban tovább nem bontható, mert bennük -et ismeretlennek, -t állandónak, és a tényezőket egy-egy 0-ra redukált másodfokú egyenlet bal oldalának tekintve ezen egyenletek diszkriminánsa negatív: , ill. , ill. , vagyis az , , egyenleteknek nincs valós gyökük.
Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. II. o. t.) | 5. Az I. megoldás párokba foglalási eljárása azért volt folytatható addig, míg az utolsó tényező is kéttagú lett, mert tagból áll. Teljes indukcióval meg lehet mutatni, hogy a 7-es kitevő helyén -gyel
Kéry Gerzson (Sopron, Széchenyi I. g. I. o. t.) | -gyel az 1941. évi Eötvös-verseny 1. feladata. |
|