Kezdőlap


Feladat:	567. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nováky Béla , Opálény Mihály
Füzet:	1960/január, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Diszkusszió, Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/április: 567. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a körök $k_{1}$ , $k_{2}$ és egy az előírt tulajdonsággal bíró $T$ pontból húzható, $e$ -vel egyenlő szögeket bezáró érintők $t_{1}$ , $t_{2}$ . A szögek egyenlősége folytán $t_{1}$ és $t_{2}$ vagy azonosak, vagy egymásnak $e$ -re tükörképei. Az első esetben $k_{1}$ és $k_{2}$ -nek valamelyik közös érintőjével állunk szemben. A másodikban, $e$ -re $t_{2}$ -vel együtt $k_{2}$ -t is tükrözve $t_{1}$ közös érintője $k_{1}$ -nek és a kapott $k'_{2}$ -nek.

Ezek szerint a keresett pontokat

e

-n a

k_{1}

k_{2}

és a

k_{1}

k'_{2}

körpárok közös érintői metszik ki. Két különböző körnek kölcsönös helyzetük szerint

4

3

2

1

0

közös érintője van, így a megoldások száma általában legfeljebb

8

, de lehet

0

is (pl. ha

k_{1}

magában foglalja

k_{2}

-t is,

k'_{2}

-t is). Kevesebb megoldásnak az is lehet oka, hogy valamely közös érintő párhuzamos

e

-vel. Lehetséges azonban végtelen sok megoldás is, ha ti.

k_{1}

és

k'_{2}

azonosak, vagyis

k_{1}

és

k_{2}

egymás tükrös párjai

e

-re; ilyenkor

e

minden olyan pontja megfelelő, amely nem esik

k_{1}

(és egyszersmind

k_{2}

) belsejébe.

Opálény Mihály Budapest, Piarista g. I. o. t.)

Megjegyzések. A dolgozatok egy része csak azokat a pontokat fogadta el megoldásnak, amelyekből húzott

t_{1}

és

t_{2}

különbözők. A kitűző eredeti javaslata is így szólt: ,,

...

amelyekből a két körhöz húzott érintők

e

-vel azonos, de nem egyállású szöget zárnak be.'' (Figyeljük meg a kétféle fogalmazás különbözőségeit.) Ámde ilyenkor

k_{1}

és

k'_{2}

-nek az esetleges

e

-re merőleges közös érintőjét (érintőit) is ki kellene zárnunk, valamint a

k'_{2} \equiv k_{2}

esetet is, vagyis ha

k_{2}

(vagy

k_{1}

, vagy mindegyikük) középpontja

e

-n fekszik.
2. Szép, részletes diszkussziót adott Nováky Béla (Budapest, I. István g. I. o. t.)