Kezdőlap


Feladat:	566. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bollobás Béla , Egyed Julianna , Fábián Gábor , Popper Gábor
Füzet:	1960/január, 11 - 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Beírt kör, Hozzáírt körök, Súlypont, Körülírt kör középpontja, Beírt kör középpontja, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/április: 566. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: a) A körülírt kör $K$ középpontja megszerkeszthető egy szög felhasználásával. Ha az $A B C$ háromszög valamelyik szöge, pl. $A C B ∢ = γ$ derékszög, akkor $K$ azonos a szembenfekvő $A B$ oldal $C_{0}$ felezőpontjával, és megszerkeszthető úgy, hogy $A B$ -re mint átlóra tetszés szerinti egyenlőtlen oldalú paralelogrammát szerkesztünk és a másik átlóval metsszük $A B$ -t. Ha $γ$ hegyesszög, akkor az $A B$ oldal látószöge $K$ -ból $2 γ$ , $K$ ugyanazon oldalán van $A B$ -nek, mint $C$ és az $A B K$ háromszög egyenlő szárú, ennélfogva $K A B ∢ = K B A ∢ = (180^{\circ} - 2 γ) / 2 = 90^{\circ} - γ$ ; ezek alapján $K$ megszerkeszthető. Ha $γ$ tompaszög akkor $A B$ látószöge $K$ -ból $360^{\circ} - 2 γ$ , így $K A B ∢ = K B A ∢ = γ - 90^{\circ}$ és $K$ az $A B$ -nek a $C$ -vel ellentétes oldalán szerkesztendő.
b) A beírt $k$ kör $O$ , és az $A B = c$ oldalhoz hozzáírt $k_{c}$ kör $O_{c}$ középpontja az oldalak felhasználásával abból szerkeszthető, hogy $k$ a $C A$ , $C B$ oldalakat $C$ -től $A$ , ill. $B$ felé $s - c = (a + b - c) / 2$ távolságban érinti, $k_{c}$ pedig meghosszabbításukat $A$ -n, ill. $B$ -n túl $C$ -től $s = (b + c + a) / 2$ távolságban. A két-két érintési pontban a megfelelő oldalra állított merőlegesek metszéspontja $O$ , ill. $O_{c}$ . Hasonlóan szerkeszthető $O_{a}$ és $O_{b}$ .
c) Az $S$ súlypont céljára pl. az $s_{c}$ súlyvonal $C_{0}$ pontját bármely háromszögben úgy kaphatjuk, mint a)-ban derékszögű háromszög esetére. Ugyanígy szerkesztve $s_{b}$ -t, ez $s_{c}$ -ből kimetszi $S$ -et.

Egyed Julianna (Gyöngyös, Vak Bottyán g. I. o. t.)

Megjegyzések. 1. Az a) rész szerkesztése hegyes- és tompaszög esetére egyszerre is kimondható:

A B

-re

A

-ban és

B

-ben a

C

-t tartalmazó félsíkban

a^{*}

b^{*}

merőleges félegyeneseket állítunk, ezektől mérjük fel

γ

-t arra az oldalra, amelyiken az

A B

szakasz fekszik.
2. Megeshetik, hogy olyan egyenest is használtunk, amely egyben valamelyik oldalnak, szögnek felezője. Ha ezt még más szerepben, a szokásostól eltérő szerkesztéssel sem engedjük meg, akkor meg kell vizsgálnunk, hogy burkoltan nem használtunk-e fel oldalfelezőt, szögfelezőt. Az a) rész

A K

B K

egyenese oldal- és egyben szögfelezővé válik, ha az

A

-ból,

B

-ből induló oldalak egyenlők. Eszerint egyenlő oldalú háromszögben az adott eljárás nem megengedett, egyenlő szárú háromszögben pedig csak

A B \neq B C = C A

esetén használható. ‐ A b) részben a

k

érintési pontjában állított merőleges sem használható, ha az érintési pont felezi a kérdéses oldalt. Az adott eljárással

O

‐ és hasonlóan

S

is ‐ szintén csak

A B \neq B C = C A

esetén szerkeszthető.
3. Egyenlő oldalú háromszög

K \equiv O \equiv S

pontját pl. úgy kaphatjuk, ha az

A B

B C

C A

oldal

B

-n,

C

-n,

A

-n túli meghosszabbításain úgy vesszük

C_{1}

A_{1}

B_{1}

-et, hogy

C_{1} B = A_{1} C = B_{1} A = A B

, és megszerkesztjük az ugyancsak egyenlő oldalú

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög középpontját.

II. megoldás: a) A háromszög területének két ismert képletéből

t = c m_{c} / 2 = a b c / 4 r

, és innen

K A = r = a b / 2 m_{c}

, ami negyedik arányosként megszerkeszthető, és a csúcsok körül

r

sugárral írt körök közös pontja

K

(mind a 3 kör szükséges).
b) Hasonlóan

2 t = c m_{c} = 2 ϱ s = 2 ϱ_{c} (s - c)

-ből

ϱ = c m_{c} / 2 s

ϱ_{c} = c m_{c} / 2 (s - c)

, így a

C A

C B

egyenesektől

ϱ

, ill.

ϱ_{c}

, távolságban

B

, ill.

A

-val egyező partjukon húzott párhuzamosok metszéspontja

O

, ill.

O_{c}

.
c) Hasonlóan

S

-et megadja két oldallal a megfelelő magasság harmadoló pontján át húzott párhuzamos metszéspontja.

Fábián Gábor (Győr, Bencés g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Két oldal megegyezése esetén a közös csúcsukból induló magassága fenti célra ismét nem használható, ha pedig mind a három oldal egyenlő, akkor ez a megoldás is használhatatlan. 2. Ha az oldalak különbözők, akkor

K

szerkesztésére felhasználhatjuk, hogy az

M

magasságpontnak az oldalakra való tükörképei a körülírt körön vannak. Ilyenkor mindhárom magasság és mindhárom tükörkép megszerkeszthető, az utóbbiakon átmenő kör középpontja

K

Popper Gábor (Budapest, Bolyai J. g. I. o. t.)

3. A csúcsokból a talpponti háromszög oldalaira bocsátott merőlegesek a körülírt körből átmérőt metszenek ki;

K

ennek alapján is szerkeszthető.

Bollobás Béla (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)