Kezdőlap


Feladat:	563. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bácsy Zs. , Barna M. , Bollobás B. , Dóra Gy. , Dömötör Gy. , Faludi Irén , Gagyi Pálffy A. , Gallyas Györgyi , Gáspár R. , Grüner Gy. , Katona Éva , Katona Mária , Kéry G. , Klimó J. , Knuth E. , Kóta G. , Kóta J. , Krámli A. , Máté A. , Molnár E. , Molnár L. , Nagy Dénes L. , Nagy M. , Náray Szabó G. , Németh I. , Szalay G. , Székely J.
Füzet:	1959/december, 174 - 176. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/április: 563. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adataink a 17-ből, továbbá 17-nek $4 = 2^{2}$ -szereséből, $3^{2}, 4^{2}, ..., 8^{2}$ -szereséből vont négyzetgyökök kerekítettjei, vagyis a kerekítésektől eltekintve az első adatnak 1-, 2-, $...,8$ -szorosa. Egy $x$ számtól a 7 tizedesre való $x^{*}$ kerekítettje legfeljebb annyival tér el, mint a 7-ik tizedeshely $1 / 10^{7}$ értékének fele: $0, 5 / 10^{7} = 5 / 10^{8}$ , vagyis $x$ közte van annak a két számnak, amely $x^{*}$ -ból $5 / 10^{8}$ kivonásával, ill. hozzáadásával keletkezik. Pl.

\begin{matrix} 4, 123 1055 5 \leq \sqrt[]{17} \leq 4, 123 1056 5. \end{matrix}

(1)

Másképpen: így

\sqrt[]{17}

-re olyan nála kisebb, ill. nagyobb véges tizedes törtet kapunk, (egy-egy ún. alsó, ill. felső korlátot), melyekben az utolsó jegy 5 és különbségük

1 / 10^{7}

. (Egyenlőség elvben mindkét egyenlőtlenség helyett állhatna aszerint, hogy milyen kerekítési utasítást követünk akkor, ha csak egyetlen jegyet kell elhagynunk, és az a jegy éppen 5-ös; esetünkben viszont egyik helyen sem állhat egyenlőség, mert

\sqrt[]{17}

irracionális, a közbezáró két szám pedig racionális.)
Számításunk céljára elegendő volna egy az (1)-hez hasonló olyan egyenlőtlenségpárt amelyben a jobb és bal oldalon 5-re végződő olyan 9 tizedes jegyű számok állnak, melyek különbsége

1 / 10^{8}

.
Adataink alapján

\sqrt[]{17}

2-szeresére, 3-szorosára,

...

, 8-szorosára (1)-hez hasonló kettős egyenlőtlenségeket írhatunk fel, azokból pedig 2-vel, 3-mal,

...

, 8-cal osztva magára

\sqrt[]{17}

-re olyanokat, melyek jobb és bal oldalának különbsége

1 / 2,1 / 3, ...,1 / 8

része

1 / 10^{7}

-nek. Pl. a

\begin{matrix} 20, 615 5280 5 < \sqrt[]{425} = 5 \sqrt[]{17} < 20, 615 5281 5 \end{matrix}

és

\begin{matrix} 24, 738 6337 5 < \sqrt[]{612} = 6 \sqrt[]{17} < 24, 738 6338 5 \end{matrix}

kettős egyenlőtlenségekből 5-, ill. 6-tal osztva

\begin{matrix} 4, 123 10561 \underset{̲}{< \sqrt[]{17} < 4, 123 10563} & (2) \\ \underset{̲}{4, 123 1056 25 < \sqrt[]{17}} < 4, 123 1056 41 ... & (3) \end{matrix}

Innen az aláhúzott egyenlőtlenségeket összekapcsolva többet tudunk mondani a kívántnál:

\sqrt[]{17}

-nek 8 tizedesre felkerekített értéke

4, 123 1056 3

. (A fenti két példát valamennyi kettős egyenlőtlenség felírása után azért választottuk ki, mert (3) bal oldala a bal oldalak közül a legnagyobb és (2) jobb oldala valamennyi jobb oldal közül a legkisebb.)
Eszerint első adatunk lekerekítéssel jött létre, a második felkerekítéssel, hiszen (2) jobb oldala szerint:

\sqrt[]{68} = 2 \sqrt[]{17} < 2 \cdot 4, 123 1056 3 = 8, 246 2112 6

, és ez felkerekítéssel vezet az adatra. Hasonlóan felkerekített a 3-ik adat, valamint a 6-ik is, amely pontosan 2-szerese a 3-iknak; a 4-ik, 5-ik és 8-ik adat viszont lekerekített, ez a váltakozás tette lehetővé a kívánt érték felírását. (A 7-ik adatról nem tudjuk megmondani a kerekítés irányát, mert (2) és (3) aláhúzott részeiből 7-tel való szorzással

28, 861 7393 75 < 7 \sqrt[]{17} < 28, 861 7394 10

.)
Ha az adatok négy jegyre volnának kerekítve, akkor belőlük nem állapíthatnók meg az 5-ik tizedes jegyet, mert valamennyi adat pontos 1-, 2-,

...,8

-szorosa lenne az elsőnek. Csak akkor állapíthatnók meg az 5-ik jegyet, ha vagy

10 \sqrt[]{17}

is az adatok között lenne, vagy a közbülső

9 \sqrt[]{17}

négy tizedes jegyre kerekített közelítő értéke nem lenne pontos 9-szerese az első adatnak (a 7-jegyű adatból látjuk, hogy ez éppen így volna).

Gallyas Györgyi (Budapest, Szilágyi Erzsébet gyak. lg. II.o. t.)

Megjegyzés. Többen a gyök 8-ik, ill. 5-ik tizedesjegyét keresték a 8, ill. 5 jegyre kerekített érték utolsó jegye helyett; ez két különböző dolog. ‐ Egyesek az adatok középértékét képezték; ilyesmi fizikai méréseknél szokásos, vagy ahol kimondottan átlagot keresünk.